Matemática Financeira

Exercício 1

## taxa de juros efetiva
i = nominal2Real(0.05,2)
v = 1/(1+i)

VPbenef = 1000*v^(10)
VPpgto = 200 + 500*v^6

x = (VPbenef - VPpgto)*(1+i)^15

Para que o valor presente dos fluxos de pagamentos seja zero, o último pagamento deve ser de $ 80.74.

Exercício 2

## função valor presente
VP = function(x) 500*annuity(i=x, 15, m=5, type="due") - 1000*annuity(i=x, 5, type="due")

## encontrando a raiz
TRI = uniroot(VP, c(0,1))$root

A taxa interna de retorno é a taxa de juros que faz com que o valor presente desse fluxo de pagamentos seja zero. Encontrando a raiz do VP do fluxo de pagamentos, obtemos que a taxa interna de retorno é 4.29%.

Exercício 3

p = 37*annuity(i=0.08, n=Inf, type="due") # perpetuidade imediata

Para contratar essa perpetuidade, seria apropriado pagar o seu valor presente, igual a $ 499.5.

Tabelas de Vida

Exercício 4

data(demoChina)

## criando a tabela de vida
tbCL1 = probs2lifetable(probs=demoChina$CL1,radix=10000,type="qx","CL1")
summary(tbCL1)
## This is lifetable:  CL1 
##  Omega age is:  105 
##  Expected curtated lifetime at birth is:  73.14131

Exercício 5

p = pxt(tbCL1, x=2, t=2)

De acordo com a tabela de vida em consideração, a probabilidade de uma vida de 2 anos sobreviver até os 4 anos é 0.9971.

Exercício 6

d = tbCL1@lx[tbCL1@x==35] - tbCL1@lx[tbCL1@x==45]

O número de mortes entre as idades 35 e 45 é dado por \(l_{35} - l_{45}\), e é igual a 195.0743.

Exercício 7

p = pxyzt(list(tbCL1,tbCL1,tbCL1), c(14,15,16), 60)

A probabilidade de que três irmãos de idades 14, 15 e 16 estejam todos vivos após 60 anos é 0.1777.

Matemática Atuarial

Exercício 8

## criar tabela atuarial
actCL1 = new("actuarialtable", x=tbCL1@x, lx=tbCL1@lx, interest=0.05)

## VPA seguro dotal puro
S = 100000
VPA = S*Exn(actCL1, x=25, n=65-25)

Para receber $ 100.000 daqui a 40 anos caso sobreviva, um segurado de 25 deverá pagar hoje $ 11426.64.

Exercício 9

## VPA seguro dotal misto
VPA = S*AExn(actCL1, x=25, n=65-25)

Para receber $ 100.000 daqui a 40 anos caso sobreviva, ou quando morrer nesse período, um segurado de 25 deverá pagar hoje $ 16498.73.

Exercício 10

## VPA seguro de vida inteira
VPA = S*Axn(actCL1, x=30, k=12, i=0.04)

O VPA de um seguro de vida inteira para um indivíduo de 30 anos com indenização de $ 100.000 paga no final do mês de morte e juros de 4% é $ 19391.06.

Exercício 11

## prêmio mensal
P = (VPA/axn(actCL1, x=30, k=12, i=0.04))/12

Se o seguro do exercício anterior for pago com prêmios mensais vitalícios, o valor de cada prêmio será $ 78.5.

Exercício 12

## prêmio trimestral
P = (S*Axn(actCL1, x=50, k=4)/axn(actCL1, x=50, k=4))/4

O prêmio que um segurado de 50 anos deverá pagar trimestralmente para contratar esse seguro vitalício, também trimestral, é de $ 541.65.

Exercício 13

## prêmio mensal
P = (S*Axn(actCL1, x=30, n=35, k=12, i=0.03)/axn(actCL1, x=30, n=15, k=12, i=0.03))/12

O prêmio mensal, pago durante 15 anos, por um segurado de 30 anos para um seguro temporário por 35 anos é de $ 65.07.