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title: "Lista de Exercícios 6"
author: "Thaís Paiva"
date: "15/06/2023"
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## Reservas

### Exercício 1

```{r echo=FALSE, message=FALSE, warning=FALSE}
require(lifecontingencies)
data("soa08Act")
```

```{r}
## prêmio
P = 100000*Axn(soa08Act, x=60)/axn(soa08Act, x=60, n=5)

## reserva t=4
V = 100000*Axn(soa08Act, x=60+4) - P*axn(soa08Act, x=60+4, n=5-4)
```

Para esse seguro, o valor da reserva no tempo $t=4$ é \$`r format(round(V,2), scientific=FALSE)`.


### Exercício 2

```{r}
## prêmio (anual)
P = 100000*Axn(soa08Act, x=60)/axn(soa08Act, x=60, k=4)

## reserva t=10
V = 100000*Axn(soa08Act, x=60+10) - P*axn(soa08Act, x=60+10, k=4)
```

Para esse seguro, o valor da reserva no tempo $t=10$ é \$`r format(round(V,2), scientific=FALSE)`.


### Exercício 3

```{r}
## prêmio
P = 50000*Exn(soa08Act, x=75, n=20)/axn(soa08Act, x=75, n=20)

## reserva t=5
V = 50000*Exn(soa08Act, x=75+5, n=20-5) - P*axn(soa08Act, x=75+5, n=20-5)
```

Para esse seguro, o valor da reserva no tempo $t=5$ é \$`r format(round(V,2), scientific=FALSE)`.


### Exercício 4


**a)** O código abaixo calcula a reserva para este contrato, considerando os diferentes valores de acordo com o tempo $t$.


```{r}
## prêmio
P = 100000*AExn(soa08Act, x=60, n=20)/axn(soa08Act, x=60, n=15)

## reserva
V = function(t){
  if(t<=15)
    res = 100000*AExn(soa08Act, x=60+t, n=20-t) - P*axn(soa08Act, x=60+t, n=15-t)
  else
    res = 100000*AExn(soa08Act, x=60+t, n=20-t)
  if(t>=20 | t<0)
    res = 0
  return(res)
}
```


**b)** Vemos a seguir a constituição da reserva para o seguro dotal misto ao longo do tempo. 


```{r echo=FALSE, fig.align='center', out.width="70%"}
t = 0:20
V = Vectorize(V)(t)
plot(t, V, type="b", pch=20, main="Reserva de seguro dotal misto de 20 anos")
```

    
## Seguros: mais cálculos


### Exercício 5

```{r}
VPA = 1000*12*( axn(soa08Act, x=30, k=12) - axyzn(list(soa08Act, soa08Act), x=c(30,40), k=12) )
P = VPA/(12*axyzn(list(soa08Act,soa08Act),c(30,40),n=30,k=12))
```

**a)** O VPA da anuidade reversível é \$`r format(round(VPA,2), scientific=FALSE)`.

**b)** O prêmio mensal para esse contrato é \$`r format(round(P,2), scientific=FALSE)`.


### Exercício 6

```{r}
G = (10000*Axn(soa08Act,30,20)+30*axn(soa08Act,30,20))/(0.85*axn(soa08Act,30,20))
```

O prêmio bruto para esse contrato é \$`r format(round(G,2), scientific=FALSE)`.


### Exercício 7

Uma amostra de $K_{25}$ pode ser gerada com o seguinte comando:

```{r}
K25 = rLife(n=10^4, object=soa08Act, x=25, type="Kx")
```

**a)** As estatísticas descritivas e o histograma da amostra de $K_{25}$ podem ser vistos abaixo.

```{r echo=FALSE}
summary(K25)
```

```{r echo=FALSE, fig.align='center', out.width="70%"}
hist(K25, freq=F, main="Histograma de K25")
lines(density(K25), lwd=2, col=4)
```


**b)** Podemos estimar a probabilidade de um indivíduo de 25 anos sobreviver até os 60 anos usando a amostra simulada acima. Como vemos abaixo, a probabilidade estimada é bem próxima da probabilidade teórica obtida a partir da tábua de mortalidade.


```{r}
## probabilidade estimada
mean(K25>35)

## probabilidade teórica
pxt(soa08Act, x=25, t=35)
```


### Exercício 8

```{r}
a65 = 1000*rLifeContingencies(n=100000, lifecontingency="axn", object=soa08Act,
                              x=65, parallel=TRUE)
P.perc = quantile(a65, p=0.75)
```

O prêmio para esse contrato obtido de acordo com o princípio do percentil é \$`r format(round(P.perc,2), scientific=FALSE)`.

