• O objetivo do curso é apresentar uma série de funções e aplicações computacionais presentes no dia a dia de trabalho de um atuário e profissionais que venham a trabalhar com cálculo de risco.

• O curso vai abordar tópicos básicos de manipulação e análise de bases de dados no R, juntamente com as principais funções para aplicações de cálculos de risco, matemática atuarial e tarifação de seguros.

• Pré-requisitos: Técnicas Atuariais I

Site: http://www.est.ufmg.br/~thaispaiva/MetComp/

• informações gerais;
• cronograma atualizado;
• materiais de aula (slides, arquivos de código, etc.).

Moodle: Turma TOPICOS ESPECIAIS EM ATUARIA - TA

• anúncios e comunicação;
• entrega de atividades.

• Charpentier, A. (Ed.). (2014). Computational Actuarial Science with R. CRC Press.

• Hothorn, T., & Everitt, B. S. (2014). A Handbook of Statistical Analyses using R. CRC press.

• R é um software livre e open-source.

• Isso faz com que o R possa ser instalado gratuitamente na maioria dos computadores e servidores.

• Por ser independente do sistema operacional e open-source, é a linguagem ideal para pesquisa reproduzível.

• E porque atuários devem usar o R?

  • R permite que seus usuários façam análises complexas sem saber a fundo os detalhes de sistemas computacionais.

• Para ilustrar a importância de métodos computacionais para atuária, vamos considerar um exemplo:

  • Suponha que você precise calcular o quantil 99,5% de uma soma aleatória de indenizações (popular entre atuários que precisam calcular Value-at-Risk).

  • Do ponto de vista probabilístico, precisamos encontrar, para todo \(s \in \mathbb{R}\):

\[ F(s) = \mathbb{P}(S \leq s), \mbox{ onde }\,\, S = \sum_{i=1}^N X_i \]

• Sob independência, podemos usar uma fórmula para a convolução:

\[ F(s) = \sum_{n=0}^{\infty} F_X^{*n}(s) \,.\, \mathbb{P}(N=n) \]

• Precisamos estimar:
  1. a distribuição das indenizações \(X_i\);
  2. e a distribuição do número de sinistros \(N\).

• Vamos estimar a distribuição dos \(X_i's\).

• Uma distribuição razoável para indenizações é a Gama(\(\alpha\),\(\beta\)).

• Um método para encontrar \(\hat{\alpha}\) e \(\hat{\beta}\) é resolvendo as equações normais abaixo: \[ \log{\hat{\alpha}} - \frac{\Gamma'(\hat{\alpha})}{\Gamma(\hat{\alpha})} - \log{\bar{X}} + \overline{\log{X}} = 0 \] \[\hat{\beta} = \frac{\hat{\alpha}}{\bar{X}} \]

# equação em função de x=alfa
f = function(x){
  log(x) - digamma(x) - log(mean(X)) + mean(log(X))
}

# encontrar a raiz da equação
alpha = uniroot(f, interval = c(1e-8,1e8))$root
alpha # estimador para alfa

## [1] 1.308995

beta = alpha/mean(X) # estimador para beta
beta

## [1] 0.01309016

• Com os valores de \(\hat{\alpha}\) e \(\hat{\beta}\), temos uma distribuição estimada para as indenizações \(X_i\).

\[X_i \sim Gamma (\hat{\alpha}, \hat{\beta}) \]

• Para o número de sinistros, vamos assumir que \[N \sim Poisson(\lambda = 100) \]

• Agora, precisamos calcular o quantil 99,5% da soma aleatória \(S=\sum_{i=1}^N X_i\). Isso pode ser feito facilmente de maneira computacional.

• Uma maneira é calcular numericamente (para um número fixo de termos) a fórmula da convolução:

\[ F(s) = \mathbb{P}(S \leq s) = \sum_{n=0}^{\infty} F_{X}^{*n}(s) \,.\, \mathbb{P}(N=n) \]

• Para calcular o primeiro termo, \(F_{X}^{*n}(s)\), vamos usar o fato de que a soma de \(n\) v.a.’s iid Gama\((\alpha;\, \beta)\) também é Gama com parâmetros \((n*\alpha; \, \beta)\).

• O segundo termo é a função de probabilidade da Poisson.

• Isso quer dizer que, com os valores estimados de \(\hat{\alpha}=\) 1.31, \(\hat{\beta}=\) 0.01, e assumindo \(\lambda=100\), temos um quantil estimado para a soma aleatória das indenizações.

\[\mathbb{P} \left( S = \sum_{i=1}^N X_i \leq 13654.43 \right) = 0.995 \]

1. Repetir o exemplo da aula, mudando o valor da semente.

2. Você pode mudar também o tamanho da amostra e a média que usamos para gerar as primeiras observações e estimar \(\hat{\alpha}\) e \(\hat{\beta}\). Veja o que muda nas estimativas dos parâmetros.

3. Repita os passos para encontrar o novo valor do quantil.

   1. O que acontece se mudarmos o valor de \(\lambda\)?
   2. O que acontece se aumentarmos o valor de nmax?

• R é uma linguagem para manipulação de dados, análise estatística e visualização gráfica.

• R foi baseado no ambiente S (Statistics), criado na década de 70.

• R é uma linguagem interpretada (interpreted language): as expressões digitadas no console são executados imediatamente pelo interpretador. Por exemplo, se você digitar 2+3 na linha de comando, o computador irá retornar 5.

• R é uma linguagem orientada a objetos (object-oriented language):

  • são criados objetos (veremos mais detalhes sobre eles nas próximas aulas) que contém informações úteis e que podem ser chamados por outras funções;
  • por exemplo, quando ajustamos um modelo de regressão no R com a função lm (Linear Models), a função retorna um objeto que contém várias informações (por exemplo, os coeficientes estimados \(\hat{\beta}\), os resíduos \(\hat{e}\), a matriz de variância estimada \(var(\hat{\beta})\), etc.).

• Os objetos mais usados no R são vetores. Eles podem conter números inteiros, números reais, resultados de um teste lógico (TRUE-FALSE).

• Eles podem ser usados em expressões aritméticas, onde as operações são feitas elemento a elemento:

  por exemplo, o comando a*b irá retornar um vetor com os elementos \([a_i \cdot b_i]\).

• Matrizes são a extensão bidimensional dos vetores.

• Em aplicações de Ciências Atuariais, várias quantidades podem ser escritas como vetores ou matrizes.

  • Por exemplo, a probabilidade que uma pessoa de idade \(x\) irá sobreviver \(k\) anos é denotada por \({}_{k}p_x\) (função de \(x\) e \(k\) inteiros), e pode ser armazenada em uma matriz p.

• Vários cálculos do cotidiano de um atuário, como precificação de seguros e cálculo de reservas, são feitos baseados em dados passados para criar modelos para descrever o comportamento futuro (predictive modelling).

• O objetivo é inferir dos dados as características para melhor explicar o risco e calcular o prêmio para diferentes segurados, ou calcular reservas para diferentes tipos de sinistros.

• Nesse curso, vamos aprender como calcular essas quantidades usando o R.

• Um pacote é um conjunto de funções (incluindo arquivos de ajuda e bancos de dados) para fazer algumas operações específicas.

• O R já vem com alguns pacotes carregados por default:

getOption("defaultPackages")

## [1] "datasets"  "utils"     "grDevices" "graphics"  "stats"     "methods"

• Para ver todos os pacotes instalados:

(.packages(all.available = TRUE))

• Para instalar outros pacotes de um repositório na internet:

install.packages("quantreg", dependencies=TRUE)

• A opção dependencies=TRUE significa que vai instalar também os outros pacotes que forem usados pelas funções do pacote quantreg.

• Você só precisa instalar o pacote uma vez. Mas precisa carregá-lo toda vez que for usar! Para isso, você pode usar qualquer um dos comandos:

library(quantreg)
require(quantreg)

• Para a próxima aula:

  1. Revisar os conceitos da aula de hoje;

  2. Instalar (ou atualizar) a versão mais recente do R e RStudio (links na seção Ferramentas do site).

  3. Fazer os exercícios da primeira parte da aula.