• Principais distribuições estatísticas para Atuária

  • Distribuições contínuas

  • Distribuições discretas

  • Distribuições mistas

• Temos interesse em medir quantias incertas, que podem ser representadas por variáveis aleatórias.

• Variáveis aleatórias são uma representação matemática de eventos incertos.

• Para isso, precisamos definir o suporte (valores que pode assumir) e a distribuição de probabilidade (probabilidades associadas) da nossa variável aleatória.

• Modelos atuariais dependem de suposições sobre a distribuição de probabilidade da variável aleatória de interesse.

• Por exemplo, se \(X\) é uma v.a. do valor de uma indenização ou tempo de vida futuro, esperamos que sua distribuição de probabilidade esteja definida em \(\mathbb{R}_{+}\). Ou se \(X\) representa o número de indenizações, sua distribuição estará definida em \(\mathbb{N}\).

• Além do suporte em que a v.a. \(X\) está definida, precisamos determinar a distribuição de probabilidade.

  • Variáveis discretas: a distribuição de probabilidade é caracterizada pela função de probabilidade \(p_X(x) = \mathbb{P}(X=x)\) para \(x \in \mathbb{N}\).
  • Variáveis contínuas: a distribuição de probabilidade é definida pela função de densidade \(f_X(x)\) (versão infinitesimal de \(p_X\), tal que \(f_X(x)dx=\mathbb{P}(X \in [x,x+dx])\)).
  • Variáveis mistas: a variável tem partes contínua e discreta. Definimos a variável aleatória com a função de distribuição acumulada \(F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x)\).

• Para variáveis discretas, a função de distribuição é: \[F_X(x) = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} p_X(n) \]
• Para variáveis contínuas, a função de distribuição é: \[F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(y)\, dy \]

• Vamos ver agora as principais distribuições de probabilidade para aplicações em atuária.

  • contínuas, discretas, mistas.

• Há várias maneiras de se classificar distribuições de probabilidade.

• Sistema de Pearson: considere a família de distribuições de probabilidade tal que a densidade satisfaça a seguinte condição (equação diferencial):

\[\frac{1}{f_X(x)} \frac{d \, f_X(x)}{dx} = - \frac{a+x}{c_0 + c_1 x + c_2 x^2} \] onde \(a\), \(c_0\), \(c_1\) e \(c_2\) são constantes.

• A solução da equação diferencial está definida até a constante \(K\) que pode ser encontrada pela restrição \(\int_{\mathbb{R}} f_X(x)\, dx = 1\).

• Pearson Tipo 0 é obtida quando \(c_1=c_2=0\).

\[f_X(x) = K.\, e^{-(2a+x)x/(2.\,c_0)} \] que é conhecida como distribuição Normal.

• Pearson Tipo 1 é obtida quando \(c_0 + c_1 x + c_2 x^2\) tem duas raízes reais \(a_1\) e \(a_2\) tal que \(a_1 < 0 < a_2\).

\[f_X(x) = K.\,(x-a_1)^{m_1}.\, (a_2-x)^{m_2} \] que é conhecida como distribuição Beta.

• Pearson Tipo 2 corresponde ao caso em que \(m+1=m_2=m\).

• Pearson Tipo 3 é obtida quando \(c_2 = 0\).

\[f_X(x) = K.\,(c_0 + c_1 x)^m .\, e^{x+c_1} \] que é conhecida como distribuição Gama.

• Outra classe importante de distribuições de probabilidade contínuas é a família exponencial, onde a densidade pode ser escrita como:

\[f_X(x) = \exp \left( \sum_{j=1}^d a_j(x).\, \alpha_j(\boldsymbol \theta) + b(x) + \beta(\boldsymbol \theta)\right) \]

onde \(\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{R}^d\) é o vetor de parâmetros, e \(a_j\), \(\alpha_j\), \(b\) e \(\beta\) são funções conhecidas.

• Várias distribuições conhecidas pertencem à família exponencial:

  • distribuição exponencial:

  \[f_X(x) = \lambda \, e^{-\lambda x} \] com \(d=1\), \(a(x)=x\), \(\alpha(x)=\lambda\), \(b(x)=0\) e \(\beta(\lambda)=\log(\lambda)\).

  • distribuição normal:

  \[f_X(x) = e^{-(x-\mu)^2/(2 \sigma^2)}/\sqrt{2 \pi \sigma^2} \] com \(d=2\), \(a_1(x)=x^2\), \(\alpha_1(\mu,\sigma^2)=-1/(2\sigma^2)\), \(a_2(x)=x\), \(\alpha_2(\mu,\sigma^2)=\mu/\sigma^2\), \(b(x)=0\) e \(\beta(\mu,\sigma^2)=-\mu^2/(2\sigma^2)-\log(\sqrt{2\pi \sigma^2})\).

  • outras distribuições de interesse para atuária: gama, normal inversa.

• No R, cada distribuição de probabilidade é implementada por um conjunto de quatro funções e um “nome raiz” foo:

  • dfoo computa a função de densidade \(f_X(x)\) ou função de probabilidade \(p_X(x)\);

  • pfoo computa a função de distribuição acumulada \(F_X(x)\);

  • qfoo computa o quantil \(F_X^{-1}(x)\);

  • e rfoo é a função para gerar números aleatórios de acordo com a distribuição de probabilidade.

• Lista completa de distribuições em outros pacotes:

https://cran.r-project.org/web/views/Distributions.html

• Entre os diversos pacotes, actuar e ActuDistns focam em distribuições relevantes para ciências atuariais.

O pacote actuar calcula os momentos \(\mathbb{E}(X^k)\) (função mfoo), valor esperado limitado \(\mathbb{E}(\min(X,l)^k)\) (função levfoo), e a função geradora de momentos \(\mathbb{E}(e^{tX})\) (função mgffoo) para diversas distribuições de probabilidade.

• Em alguns casos, pode ser necessário transformar a distribuição de probabilidade de \(X\):

  • translação \(X+c\);
  • mudança de escala \(\lambda X\);
  • potência \(X^{\alpha}\);
  • inverso \(1/X\);
  • logaritmo \(\log(X)\);
  • exponencial \(\exp(X)\);
  • razão de chances \(X / (1-X)\).

• Para encontrar as densidades das variáveis após alguma transformação:

\[f_Y(y) = \left| \frac{d}{dy} \left( g^{-1}(y) \right) \right| \cdot f_X\left( g^{-1}(y) \right)\] onde \(Y = g(Y)\) e \(g\) é uma transformação monótona.

• Distribuição Uniforme: distribuição contínua com suporte finito.

\[f_X(x) = \mathbb{1}_{[0,1]}(x) \]

É usada para gerar amostra de outras distribuições de probabilidade (se \(U\sim Unif(0,1)\), \(Y = F_X(U)^{-1}\) tem distribuição \(F_X\) ).

No R: ?dunif

• Distribuição Beta:

\[f_X(x) = \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\beta(a,b)} \cdot \mathbb{1}_{[0,1]}(x) \] \[F_X(x) = \frac{\beta(a,b,x)}{a,b} \]

onde \(\beta(.,.)\) é a função beta, e \(\beta(.,.,.)\) é a função beta incompleta.

• Caso especial: quando \(a=b=1\), temos a distribuição uniforme.

• Quando \(a,b<1\), a densidade tem formato de “U”; quando \(a,b>1\), a densidade é unimodal; outros formatos no link.

  No R: ?dbeta

• Família Gama: família de transformações da distribuição gama, com valores contínuos positivos.

• Seja \(X \sim Gama(\alpha, 1)\). A transformação da família gama é dada por \(Y=X^{1/\tau}/\lambda\) com \(\tau>0\).

\[f_Y(y) = \frac{\lambda^{\tau \alpha}}{\Gamma(\alpha)} \tau \, y^{\alpha \tau - 1} e^{-(\lambda y)^\tau} \] \[F_Y(y) = \Gamma(\alpha, (\lambda y)^\tau)/\Gamma(\alpha)\] onde \(\Gamma(.,.)\) denota a função gama incompleta.

• Quando \(\tau<0\), temos a família gama inversa.

• Pareto: distribuição de cauda pesada com parâmetros \((\alpha, \theta)\).

\[f_X(x) = \frac{\alpha}{\theta} \left( \frac{\theta}{\theta+x} \right)^{\alpha+1} \] para \(x, \alpha, \theta>0\).

• Família Sundt (a, b, 0): distribuições que satisfazem a relação:

\[\frac{\mathbb{P}(X=k+1)}{\mathbb{P}(X=k)} = a + \frac{b}{k} \] para \(k \in \mathbb{N}\) e \(a,b \geq 0\).

• Essa relação recursiva pode ser vista como uma simplificação discreta do sistema de Pearson.

• Distribuição Binomial: quando \(a=-p/(1-p)\) e \(b=p(n+1)/(1-p)\);

• Distribuição Poisson: quando \(a=0\) e \(b=\lambda\);

• Distribuição Binomial Negativa: quando \(a=1-p\) e \(b=(1-p)(m-1)\).

• A família exponencial também inclue algumas distribuições discretas com função de probabilidade:

\[p_X(k) = \exp \left( \sum_{j=1}^d a_j(k) \alpha_j(\theta) + b(k) + \beta(\theta)\right)\]

• Bernoulli: \(d=1\), \(a(x)=x\), \(\alpha(p)=\log(p/(1-p))\), \(b(x)=0\) e \(\beta(p)=\log(1-p)\);

• Poisson: \(d=1\), \(a(x)=x\), \(\alpha(\lambda)=\lambda\), \(b(x)=-\log(x!)\) e \(\beta(\lambda)=-\lambda\).

• Assim como as distribuições contínuas, as distribuições discretas também estão implementadas no R:

  • dfoo calcula a massa de probabilidade \(p_X\);

  • pfoo calcula a função de distribuição acumulada \(F_X\);

  • qfoo calcula o quantil \(F_X^{-1}\);

  • e rfoo gera números aleatórios.

• Algumas das principais distribuições discretas que vamos usar são:

  • Binomial (n,p) (no R ?dbinom);

  • Poisson (\(\lambda\)) (no R ?dpois);

  • Binomial Negativa (m,p) (no R ?dnbinom).

• Distribuições mistas são obtidas a partir de mistura entre variáveis aleatórias discretas e contínuas.

• A função de distribuição tem partes contínuas, e pontos de descontinuidade.

• Por exemplo, uma distribuição gama modificada em zero tem função de distribuição:

\[F_X(x) = p.\,\mathbb{1}_{x \geq 0} + (1-p).\,\frac{\Gamma(\alpha,\lambda x)}{\Gamma(\alpha)}\]

• \(X\) tem função de densidade imprópria \(f_X(x) = (1-p) \lambda^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}/\Gamma(\alpha)\).

• Similarmente, também podemos definir outras variáveis com pontos de massa discretos.

• Exemplo 1: Modelo para taxa de destruição em seguros:

  • Vamos considerar a variável aleatória \(X = L/d\), onde \(L\) é o valor da perda e \(d\) é a perda máxima definida no contrato.

  • Por definição, \(X \in [0,1]\), e pode ter um ponto de massa em 1 quando o objeto segurado é completamente destruído (perda total).

  • Para modelar essa v.a., vamos usar uma distribuição beta modificada em 1.

Distribuição beta modificada em 1:

É a distribuição de \(X=BY\), onde \(Y\sim Beta(a,b)\) e \(B\sim Bern(q)\).

• Função de distribuição:

\[F_X(x) = (1-q) .\, \frac{\beta(a,b,x)}{\beta} + q .\, \mathbb{1}_{x \geq 1} \]

• Função de densidade imprópria: \(f_X(x) = (1-q) \, x^{a-1} \, (1-x)^{b-1} / \beta(a,b)\).

• Como definir essas funções no R:

dbetaOM = function(x, prob, a, b)
  dbeta(x, a, b)*(1-prob)*(x != 1) + prob*(x == 1)

pbetaOM = function(q, prob, a, b)
  pbeta(q, a, b)*(1-prob) + prob*(q >= 1)

• Mistura de distribuições: podemos selecionar uma distribuição aleatoriamente de um conjunto finito de distribuições.

• Considere o conjunto de distribuições \((F_1,\dots,F_p)\) com pesos \(\omega_1,\dots,\omega_p \in [0,1]\). A distribuição escolhida é \(\Theta\) tal que \(\mathbb{P}(\Theta=i)=\omega_i\) para \(i=1,\dots,p\).

• Essa mistura é caracterizada pela função de distribuição:

\[F_X(x) = \sum_{i=1}^p \omega_i \, F_i(x)\] - Se as distribuições \(F_i\) forem diferenciáveis, a densidade da mistura é dada por \(f_X(x) = \sum_{i=1}^p \omega_i \, f_i(x)\).

• Exemplo 2: mistura de duas normais \(N(m_1, s^2_1)\)e \(N(m_2, s^2_2)\)

\[f_X(x) = p.\, \frac{e^{-(x-m_1)^2/(2s^2_1)}}{\sqrt{2\pi s^2_1}} + (1-p) .\, \frac{e^{-(x-m_2)^2/(2s^2_2)}}{\sqrt{2\pi s^2_2}} \] com \(p \in [0,1]\) e \(x \in \mathbb{R}\).

• Essa distribuição está implementada nos pacotes mixtools e norm1mix.

• Exemplo 3: mistura de uma distribuição com cauda normal e uma distribuição com cauda pesada. Por exemplo, \(Gama(\nu, \lambda)\) e \(Pareto(\alpha,\theta)\).

\[f_X(x) = p.\, \frac{\lambda^\nu x^{\nu-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\nu)} + (1-p).\,\alpha/\theta \left( \frac{\theta}{\theta+x} \right)^{\alpha+1} \] com \(p \in [0,1]\) e \(x \in \mathbb{R}_{+}\).

• Implementando no R:

library(actuar)   # carregando pacote com dist. pareto

dmixgampar <- function(x, prob, nu, lambda, alpha, theta)
  prob*dgamma(x, nu, lambda) + (1-prob)*dpareto(x, alpha, theta)

pmixgampar <- function(q, prob, nu, lambda, alpha, theta)
  prob*pgamma(q, nu, lambda) + (1-prob)*ppareto(q, alpha, theta)