• Fluxos de pagamentos probabilísticos

• Tabela de Vida

  • criando e manipulando tabelas de vida no R

  • avaliando probabilidades, esperanças de vida

• Suposições para idades fracionárias

• Múltiplas Vidas

• Na aula passada, consideramos fluxos de pagamentos determinísticos, isto é, os pagamentos periódicos são feitos com probabilidade 1.

• No entanto, nas Ciências Atuariais, muitas vezes teremos que avaliar fluxos de pagamentos probabilísticos.

• Pagamentos podem depender da sobrevivência ou morte de um indivíduo (ou grupo de indivíduos).

• Para comparar pagamentos ou fluxos de pagamentos em tempos diferentes \(\Rightarrow\) valor presente.

• Para comparar pagamentos ou fluxos de pagamentos probabilísticos \(\Rightarrow\) esperança.

• Vamos denominar o valor presente desses fluxos de pagamentos como VPA - Valor Presente Atuarial.

• O Valor Presente do fluxo de pagamentos probabilístico será uma variável aleatória, vai depender de quando os pagamentos são feitos.

• Se os pagamentos dependem da sobrevivência ou morte de um indivíduo, vamos precisar determinar a variável aleatória \(T(x)\): tempo de vida futura de um indivíduo de idade \(x\).

• O Valor Presente será uma função de \(T(x)\).

• Assim, precisamos encontrar a distribuição de probabilidade de \(T(x)\).

• Uma tabela de vida é uma sequência não-crescente de \(l_x\), para as idades \(x=0,1,\dots,\omega\) com a idade terminal \(\omega\).

• Cada quantia \(l_x\) representa o número de indivíduos vivos à idade \(x\).

• O número \(l_0\) de indivíduos vivos no tempo 0 é a raiz da tabela.

• Como a tabela contém o número de sobreviventes, podemos usar os valores de \(l_x\) para calcular as probabilidades de sobrevivência.

• Probabilidade de \((x)\) sobreviver à idade \(x+t\):

\[{}_{t}p_x = P(T(x)>t) = \frac{l_{x+t}}{l_x} \]

• Probabilidade de \((x)\) não atingir a idade \(x+t\):

\[{}_{t}q_x = 1 - {}_{t}p_x = P(T(x) \leq t) = \frac{l_x - l_{x+t}}{l_x} \]

• Notação: a probabilidade \({}_{1}p_x\) será denotada por \(p_x\).

• Podemos criar uma tabela de vida no R usando o pacote lifecontingencies de algumas maneiras diferentes:

1. imputar diretamente \(x\) e \(l_x\):

tab1 = new("lifetable", x=seq(0,10,1),
           lx=seq(from=1000,to=0,by=-100),name="Sample life table 1")

• Verifique o que é o objeto tab1? Quais quantidades foram passadas (input) e quais foram criadas (output)?

• Qual a classe desse objeto? Verifique o help da classe para ver os detalhes sobre esse tipo de objeto.

• O que a função summary(tab1) faz? E a função plot(tab1)? Veja quais outros métodos estão implementados para essa classe.

• Podemos criar uma tabela de vida no R usando o pacote lifecontingencies de algumas maneiras diferentes:

2 . a partir das probabilidades \(p_x\) ou \(q_x\):

tab2 = probs2lifetable(probs=seq(from=0.1,to=1,by=0.1),
                       radix=100000,type="qx",name="Sample life table 2")

• O que a função head(tab2) faz? E a função tail(tab2)?

• Verifique o que é o objeto tab2? Quais quantidades foram passadas (input) e quais foram criadas (output)?

Obs: Podemos exportar um objeto lifetable para um objeto data.frame usando o comando:

## exportando para data.frame
tab2.df = as(tab2, "data.frame")
class(tab2.df)

## [1] "data.frame"

• Podemos fazer várias análises demográficas usando as funções do pacote.

• As principais probabilidades que vamos avaliar são:

  • a probabilidade de um indivíduo de idade \(x\) sobreviva à idade \(x+t\):

  \[{}_{t}p_x\]

  • a probabilidade de um indivíduo de idade \(x\) morrer em \(t\) anos:

  \[{}_{t}q_x = 1 - {}_{t}p_x\]

• Usando a Tabela Ilustrativa do SOA (Society of Actuaries) usada no Bowers, calcule:

  • a probabilidade de um indivíduo de idade 65 morrer antes de completar 85 anos;

  • a probabilidade de um indivíduo de idade 25 sobreviver até os 65 anos.

## carregando a tabela de vida ilustrativa do SOA
data("soa08")

Obs: Os objetos da classe lifetable são do tipo S4, um tipo de objeto mais recente do R para organizar várias informações. Note que a tabela soa08 contém alguns “slots”. Você pode acessar os slots com os comandos:

slotNames(soa08)

## [1] "x"    "lx"   "name"

head(soa08@lx)

## [1] 100000.00  97957.83  97826.26  97706.55  97596.74  97495.03

• Esperança de vida em anos completos:

• Esperança de vida em anos completos entre as idades \(x\) e \(x+n\):

• Esperança de vida completa:

• Esperança de vida completa entre as idades \(x\) e \(x+n\):

Vamos relembrar as suposições sobre a mortalidade em idades fracionárias:

• Distribuição uniforme ou interpolação linear:

Seja \(h \geq 0\) o tempo fracionário, e \(\lfloor h \rfloor\) sua a parte inteira. A interpolação linear entre \({}_{\lfloor h \rfloor}p_x\) e \({}_{\lfloor h \rfloor +1}p_x\) é dada por:

\[{}_{h}\tilde{p}_x = \left( 1 - h + \lfloor h \rfloor \right).\,{}_{\lfloor h \rfloor}p_x + \left( h - \lfloor h \rfloor \right).\,{}_{\lfloor h \rfloor +1}p_x \]

• Força de mortalidade constante:
  
  Sabemos que \({}_{h}p_x = \exp\left( - \int_0^h \mu_{x+s} \,ds\right)\), onde \(\mu_x\) é a força de mortalidade. Assuma que \(h \in [0,1)\) e que \(\mu_{x+s}\) é constante em \([0,1)\). Então

  \[{}_{h}\tilde{p}_x = \exp\left( - \int_0^h \mu_{x+s} \,ds\right) = \exp(-\mu_x \cdot h) = (p_x)^h \]

O pacote lifecontingencies também tem funções de múltiplas vidas implementadas.

• Status de vida conjunta: tempo até a primeira morte

\[T_{xy} = \min(T_x, T_y) \] \[{}_{t}p_{xy} = P(T_{xy}>t) = P(T_x > t \,\cap\, T_y > t) \]

• Status do último sobrevivente: tempo até a última morte

\[T_{\overline{xy}} = \max(T_x, T_y) \] \[{}_{t}p_{\overline{xy}} = P(T_{\overline{xy}}>t) = P(T_x > t \,\cup\, T_y > t) \]

• Assumindo vidas independentes, temos que:

\[{}_{t}p_{xy} = {}_{t}p_x \,\cdot {}_{t}p_y \]

\[{}_{t}p_{\overline{xy}} = {}_{t}p_x + {}_{t}p_y - {}_{t}p_{xy} \]

Assuma que a Tabela Ilustrativa do SOA se aplica a duas vidas independentes de idade 65 e 60.

Calcule:

1. a probabilidade que ambos estarão vivos após 20 anos;

2. a probabilidade que pelo menos um estará vivo após 20 anos;

3. a esperança de vida conjunta.

Dica: veja as funções pxt, pxyzt e exyzt.

## a) prob. ambos vivos em 20 anos
pxt(soa08, x=65, t=20)*pxt(soa08, x=60, t=20)

## [1] 0.1496391

pxyzt(list(soa08,soa08), x=c(65,60), t=20, status="joint")

## [1] 0.1496391

## b) prob. pelo menos um vivo em 20 anos
1 - qxt(soa08, x=65, t=20)*qxt(soa08, x=60, t=20)

## [1] 0.641433

pxyzt(list(soa08,soa08), x=c(65,60), t=20, status="last")

## [1] 0.641433

## c) esperança de vida conjunta
exyzt(list(soa08,soa08), x=c(65,60), t=20, status="joint")

## [1] 11.08887