• Seguros de Vida

  • VPA de diferentes seguros
  • Fórmulas de Comutação
  • Seguros com Benefícios Crescentes
  • Seguros em m partes no ano

• Anuidades de Vida

  • VPA de diferentes anuidades
  • Fórmulas de Comutação

• Prêmios

Etapas para calcular o prêmio de um seguro (preço a ser cobrado pelo contrato):

1. Determinar as hipóteses financeiras e demográficas que serão usadas. Isto é, a taxa de juros para descontar os pagamentos futuros, e a tabela de vida com as probabilidades de sobrevivência.
2. Calcular o Valor Presente Atuarial dos fluxos de caixa dependentes de sobrevivência/mortalidade do indivíduo, ou seja, o valor esperado dos benefícios prometidos no contrato e as despesas associadas.
3. Calcular o prêmio, levando em conta que pode ser pago em uma única parcela (prêmio único) ou em parcelas periódicas.

Seja:

• \(x\) a idade do segurado no início do contrato;

• \(n\) a duração do contrato;

• \(m\) o período de diferimento, isto é, o período até que a cobertura do contrato se inicie;

• \(i\) a taxa de juros;

• \(k\) a frequência de pagamentos a cada ano.

• Para os exemplos dessa aula, vamos considerar:

  • Tabela de vida Ilustrativa do SOA;

  • taxa de juros de 6%.

• Também vamos assumir que os benefícios são pagos no final de cada período.

• O contrato padrão que vamos utilizar será o de seguro de vida temporário por \(n\) anos, que paga $1 no final do ano de morte de \((x)\) se ocorrer antes de \(n\) anos.

• VPA:

• No caso do seguro de vida inteira, o VPA é obtido quando \(n = \omega\).

• Para seguro diferido, basta alterar os limites do somatório para \(k=m\) até \(n+m-1\).

• Antes da popularização dos computadores, o cálculo de seguros era feito com tabelas atuariais, tabelas prontas com funções da idade dos segurados.

• As funções de comutação são funções de \(l_x\) e da taxa de juros \(i\).
  
  

• VPA de Seguro de vida inteira:

• Seguro Dotal Puro:

• VPA de Seguro de vida diferido:

• VPA de Seguro de vida temporário:

• O pacote lifecontingencies contém funções para criar tabelas atuariais com funções de comutação a partir de uma tabela de vida.

• A partir da tabela de vida ilustrativa do SOA:

1. Construa uma tabela atuarial com juros de 6%;

2. Exporte essa tabela para um objeto data.frame com as funções de comutação.

## carregar valores de l_x
data("soaLt")

## criar tabela atuarial
soaAct = new("actuarialtable", x=soaLt$x, lx=soaLt$Ix, interest=0.06)

## convertendo para data.frame
soaAct.df = as(soaAct, "data.frame")
head(soaAct.df)

##   x       lx       Dx        Nx        Cx       Mx       Rx
## 1 0 10000000 10000000 168358017 47263.585 470300.9 12487975
## 2 1  9949901  9386699 158358017 44588.288 423037.4 12017674
## 3 2  9899801  8810788 148971318 42064.422 378449.1 11594637
## 4 3  9849702  8270000 140160530 39683.417 336384.6 11216188
## 5 4  9799602  7762203 131890531 37437.186 296701.2 10879803
## 6 5  9749503  7285396 124128328  6191.668 259264.0 10583102

• Vamos usar essa tabela de vida para encontrar o valor do prêmio único de um seguro temporário por 3 anos, para um segurado de 36 anos e soma segurada de $100.000.

• VPA desse seguro:

## Exemplo - Seguro temporário

## 1) usando somatório
## probabilidades
prob.morte = -diff(soaAct.df$lx)[soaAct.df$x%in%36:38]/soaAct.df$lx[soaAct.df$x==36]
prob.morte

## [1] 0.002140254 0.002274272 0.002420523

## fatores de desconto
disc = (1+0.06)^(-(1:3))
disc

## [1] 0.9433962 0.8899964 0.8396193

## valor presente atuarial
p1 = 100000*sum(disc*prob.morte)

• Usando funções de comutação:

## 2) usando funções de comutação
p2 = 100000*with(soaAct.df, (Mx[37]-Mx[40])/Dx[37])

## 3) usando função seguro temporário
p3 = 100000*Axn(actuarialtable = soaAct, x=36, n=3)

cbind(p1,p2,p3)

##            p1       p2       p3
## [1,] 607.5519 607.5519 607.5519

• Outro tipo de contrato consiste em seguros com benefícios crescentes ou decrescentes, pagos no final do ano de morte.

• Por exemplo, considere um seguro temporário por \(n\) anos que paga \(k+1\) se \(x\) completou \(k\) anos desde o início do contrato, ou seja, se \(K_x = k\) para \(k=0,1,\dots,n-1\).

• Seguros temporários, crescentes e decrescentes estão relacionados através da equação:

## seguros com benefícios crescentes

(10+1)*Axn(soaAct, 60, 10)

## [1] 1.504674

IAxn(soaAct, 60, 10) + DAxn(soaAct, 60, 10)

## [1] 1.504674

• Também podemos considerar seguros pagos em m partes no ano. Assim, estamos dividindo o ano em \(m\) subperíodos, e os benefícios serão pagos no final da parte em que ocorrer a morte.

• Vamos verificar numericamente que

(sob suposição de distribuição uniforme de mortes - Seção 4.5 do Dickson)

## relação entre seguros anuais e em m partes
Axn(actuarialtable=soaAct,x=30,k=12)

## [1] 0.1052722

0.06/real2Nominal(0.06,12)*Axn(actuarialtable=soaAct,x=30)

## [1] 0.1052722

• Uma anuidade de vida é uma série de pagamentos feitos no começo (ou final) do ano enquanto o segurado estiver vivo.

• VPA de uma anuidade de vida inteira antecipada:

\[\ddot{a}_x = \sum_{k=0}^\infty v^k . {}_{k}p_x \]

• VPA de uma anuidade de vida inteira postecipada:

\[a_x = \sum_{k=1}^\infty v^k . {}_{k}p_x = \ddot{a}_x - 1 = {}_{1|}\ddot{a}_x\]

• VPA de Anuidade de vida inteira antecipada:

• VPA de Anuidade de vida inteira postecipada:

• VPA de Anuidade de vida inteira antecipada e diferida:

• VPA de Anuidade de vida antecipada e temporária:

• Refaça os cálculos anteriores para anuidade postecipada.

## Exercício
## anuidade postecipada
##

• Encontre o VPA de uma série de pagamentos de $1000 feitos por um segurado entre as idades 25 e 45, no começo de cada ano enquanto estiver vivo.

## Exercício
## VPA anuidade temporária
##

• Encontre o VPA de uma série de pagamentos postecipados de $150 feitos mensalmente e vitaliciamente por um segurado de 20 anos, diferidos por 10 anos

## Exercício
## VPA anuidade diferida postecipada e mensal
##

(Para anuidade postecipada: payment="arrears")

• Até agora, calculamos o VPA dos benefícios (de contratos de seguros ou anuidades) assumindo um prêmio único.

• Nesse caso, o segurado seria cobrado apenas o VPA dos benefícios.

• Mas, normalmente, os prêmios são pagos em uma série de pagamentos.

• Princípio da Equivalência:

\[VPA(\mbox{benefícios}) = VPA(\mbox{prêmios}) \]

## Exercício - Prêmio 1
##

• Calcule o prêmio anual vitalício de um seguro de vida inteira de $100.000 diferido por 20 anos para um segurado de 50 anos.

## Exercício - Prêmio 2
##

• Considere uma apólice de seguro de vida inteira de $100.000, diferido por 5 anos, para um segurado de 40 anos.

• Os prêmios são pagos durante o período de diferimento.

• Caso o segurado morra durante o período de diferimento, o seu beneficiário irá receber os prêmios pagos sem juros.

• Calcule o prêmio para esse contrato.