• Definição de Reservas

• Fórmulas de cálculo

  • método retrospectivo
  • método prospectivo
  • fórmula recursiva

• Exemplos

• A reserva de uma apólice consiste no valor que a seguradora precisa ter em um determinado momento para, juntamente com os prêmios futuros que venha a receber, consiga honrar com seus pagamentos futuros de indenizações.

• Para o cálculo da reserva no tempo \(t\), assumimos que o segurado está vivo.

Reservas podem ser calculadas através de dois métodos:

• Prospectivo: a reserva é calculada como a diferença entre os valores presentes atuariais dos benefícios futuros e dos prêmios futuros.

\[{}_{t}V = VPA(\mbox{benefícios futuros}) - VPA(\mbox{prêmios futuros}) \]

• Retrospectivo: a reserva é calculada como a diferença entre os valores acumulados dos benefícios pagos e os prêmios recebidos.

Para os exemplos dessa aula, vamos considerar a reserva prospectiva e os seguros discretos.

• Reserva Prospectiva no tempo \(t\) para um seguro de vida inteira para um indivíduo de idade \(x\):

\[{}_{t}V_x = A_{x+t} - P \,\cdot \ddot{a}_{x+t} \]

onde \(P=\frac{A_x}{\ddot{a}_x}\) é o prêmio anual calculado no tempo \(t=0\).

• Reserva Prospectiva no tempo \(t\) para um seguro de vida temporário por \(n\) anos para um indivíduo de idade \(x\):

onde \(P\) é o prêmio anual calculado no tempo \(t=0\).

• Vamos visualizar a evolução da reserva com o tempo.

• Para isso, vamos considerar o seguro temporário por 30 anos para um segurado de 60 anos.

• Para \(t=0,1,\dots,30\), a reserva é dada por:

• Podemos encontrar o valor das reservas de maneira iterativa.

\[{}_{t}V = {}_{t+1}V + VPA(\mbox{benefícios em } (t,t+1) ) - VPA(\mbox{prêmios em } (t,t+1)) \]

• Assim, é possível determinar reservas usando fórmulas recursivas, já que no tempo \(t=0\) a reserva deve ser zero.

• Considere uma sequência \(\boldsymbol u = (u_n)\) satisfazendo a equação:

\[u_n = a_n + b_n .\, u_{n+1} \]

para todo \(n=1,2,\dots,m\) tal que \(u_{m+1}\) é conhecido, assim como \(\boldsymbol a = (a_n)\) e \(\boldsymbol b = (b_n)\).

• A fórmula recursiva para a reserva se encaixa nessa fórmula geral, assim como muitas funções atuariais como \(A_x\), \(\ddot{a}_x\) e até \(e_x\).

• A solução geral para essa fórmula é dada por:

\[ u_n = \frac{u_{m+1} \prod_{i=1}^m b_i + \sum_{j=n}^m a_j \prod_{i=0}^{j-1} b_i}{\prod_{i=0}^{n-1} b_i} \]

onde \(b_0=1\).

## função para encontrar solução para fórmula recursiva
recurrent = function(a,b,ufinal){
  s <- rev(cumprod(c(1, b)))
  return( ( rev(cumsum(s[-1]*rev(a))) + s[1]*ufinal )/rev(s[-1]) )
}

• Vamos considerar o exemplo anterior de seguro de vida temporário por 30 anos para um indivíduo de 60 anos.

• Fórmula recursiva:

• De acordo com a equação recursiva geral, temos que \(m=n\), \(u_{m+1}=0\).

• Logo, os termos da fórmula recursiva para a reserva \({}_{t}V\) são:

• Assim, podemos encontrar o valor das reservas para \(t=0,\dots,30\) usando a solução iterativa:

## Exemplo - seguro temporário
## encontrando a reserva usando a fórmula recursiva

## prêmio
P = Axn(soa08Act,60,30)/axn(soa08Act,60,30)

## Sequências de a e b
Vecta = Vectorize(function(t) Axn(soa08Act,t,1))(60+0:29) - P
Vectb = Vectorize(function(t) pxt(soa08Act,t,1))(60+0:29)/1.06

## Sequência da reserva com a fórmula recursiva
Vectv = c(recurrent(a=Vecta,b=Vectb,ufinal=0),0)