• Múltiplas Vidas

  • seguros e anuidades
  • anuidades reversíveis

• Despesas

• Simulação de tempos de vida

  • simulação de VPAs
  • aplicação: princípio do percentil

• A teoria geral que vimos até agora para seguros, anuidades, prêmios e reservas pode ser extendida para considerar apólices para múltiplas vidas.

• A principal relação para essas quantidades envolve as v.a.’s do tempo de vida futuro dos status de vida conjunta e último sobrevivente:

\[T_{xy} + T_{\overline{xy}} = T_x + T_y \]

• Essa relação também se aplica a Valores Presentes Atuariais.

• Vamos ver agora como incorporar as despesas nos cálculos dos VPA’s, prêmios e reservas.

• Na prática, tratamos as despesas como se fossem “benefícios”.

• Para encontrar o prêmio bruto, o VPA das despesas é adicionado ao VPA dos benefícios, e então igualado ao VPA dos prêmios.

• Similarmente, as reservas são obtidas como a diferença entre o VPA dos benefícios e despesas futuros e o VPA dos prêmios futuros.

• Para um seguro de vida inteira discreto com soma segurada de $100.000 para uma vida de 35 anos, considere:

  • despesa de 10% dos prêmios por ano;

  • despesa de $25 por apólice por ano;

  • despesa de manutenção anual de $2,50 por cada $1.000 de soma segurada;

  • todas as despesas são pagas no começo do ano.

• Encontre o prêmio bruto \(G\).

\[ G. \ddot{a}_{35} = 100.000 \times A_{35} + \left( 0,1.G + 25 + 2,5 . \frac{100.000}{1.000} \right) \times \ddot{a}_{35}\]

• Para um seguro de vida inteira de $1.000 para um segurado de 45 anos, considere:

  • despesa de 10% do prêmio bruto por ano;

  • despesas adicionais de $3 por ano;

  • todas as despesas são pagas no começo do ano.

• Calcule:

  1. o prêmio puro anual;
  2. o prêmio bruto anual;
  3. a reserva líquida no final do primeiro ano;
  4. a reserva bruta no final do primeiro ano.

• O valor presente de contratos de seguro e anuidades (life-contingencies) são variáveis aleatórias.

• São variáveis aleatórias que dependem do tempo de vida futuro de \((x)\).

• Podemos usar amostras de \(T(x)\) e \(K(x)\) para avaliar funções mais complexas dessas variáveis através de Métodos de Monte Carlo.

• Vamos gerar uma amostra de \(n=1000\) tempos de vida para indivíduos nascendo hoje, e que terão distribuição de mortalidade de acordo com a tabela SOA.

## Simulação - amostra de tempos de vida ao nascer K(0)
set.seed(123)
K0 = rLife(n=1000, object=soa08Act, x=0, type="Kx")

• Gere uma nova amostra de K0 alterando a semente. Repita os resultados do slide anterior. O que mudou?

• E se aumentar o tamanho da amostra?

• E se selecionarmos type="Tx"?

• Gerar uma amostra de tempos de vida pode ser usado para computar quantias que dependem de \(T(x)\) e \(K(x)\).

• Por exemplo, se quisermos calcular a esperança e variância do valor presente de um seguro de vida inteira.

• Esses valores dependem da amostra que geramos.

• E se repetirmos essa simulação 100 vezes?

• A cada repetição, fazer:

  1. Gerar uma amostra de tamanho 10.000 de tempos de vida ao nascer.

  2. Para cada indivíduo da amostra, calcular o valor presente de um seguro de vida inteira.

  3. Obter a média dos valores presentes de cada amostra.

  4. Plotar a média do valor presente em um gráfico de frequência.

• A simulação de uma amostra de tempos de vida ao nascer também pode ser útil para determinar o prêmio de acordo com o Princípio do Percentil.

• O prêmio é determinado como sendo o valor mínimo que faz com que a probabilidade da seguradora ter uma perda total negativa seja \(\alpha\).

\[L_{0,i} = VP(\mbox{benef. futuros})_{0,i} - VP(\mbox{prêmios futuros})_{0,i} \] \[L = \sum_{i=1}^N L_{0,i} \] \[P(L < 0) = \alpha\]

• Se o tamanho da carteira for suficientemente grande, podemos usar o Teorema Central do Limite para encontrar o prêmio de acordo com o Princípio do Percentil.

• Com \(N\) grande, \(L\) tem distribuição aproximadamente normal, com média \(E(L)=N.\,E(L_{0,i})\) e variância \(Var(L) = N.\,Var(L_{0,i})\).

\[P(L<0) = P\left( \frac{L-E(L)}{\sqrt{Var(L)}} < \frac{-E(L)}{\sqrt{Var(L)}} \right) = \Phi\left(\frac{-E(L)}{\sqrt{Var(L)}}\right) = \boldsymbol\alpha \]

• Assim, usamos a equação acima para encontrar o prêmio que satisfaz essa condição, já que \(E(L)\) e \(Var(L)\) dependem de \(P\).

• Também podemos usar a nossa amostra de tempos de vida simulados, e obter o prêmio que satisfaz o princípio do percentil usando Métodos de Monte Carlo.

• Um segurado de idade 25 contrata um seguro temporário por 40 anos de $100.000.

• Encontre o menor prêmio que a seguradora pode cobrar para garantir que a probabilidade de perda positiva (prejuízo) não seja maior do que 5%.

## Calculando o prêmio (único)

## de acordo com o princípio do percentil
(P.perc = quantile(samples, p=0.95))

##      95% 
## 26179.73

## de acordo com o princípio da equivalência
(P.equi = mean(samples))                  # empírico

## [1] 4777.045

(P.teo  = 100000*Axn(soa08Act, 25, 40))   # teórico

## [1] 4797.088

## probabilidade de perda positiva
mean(samples>P.perc)

## [1] 0.0469

mean(samples>P.equi)

## [1] 0.2143

• Uma seguradora vai subscrever a cobertura de pagamentos de aposentadorias vitalícias para uma carteira de 1000 aposentados, todos de 65 anos.

• Calcule o valor a ser cobrado de cada aposentado para que a probabilidade da seguradora ter uma perda positiva (prejuízo) seja de no máximo 1%.

• Se \(Z\) é a v.a. que representa o VP dessa anuidade, o VP da perda total da carteira com 1000 segurados tem distribuição normal com média e desvio padrão dados por:

\[\mu = 1000.\,E(Z) \qquad\qquad \sigma = \sqrt{1000.\,Var(Z)} \]

## média e desvio padrão dos VPAs
muax65 = mean(ax65)
sdax65 = sd(ax65)

## prêmio
(P = qnorm(p=0.99, mean=1000*muax65, sd=sqrt(1000)*sdax65)/1000)

## [1] 10.15841

• O pacote lifecontingencies também encontra o VPA de momentos de ordem maior do que um, com a opção power.

Exemplo:

• Vamos calcular a variância de um seguro crescente temporário por 20 anos para um segurado de 45 anos.

## Exemplo - variância de seguro crescente

## gerar amostra de VPAs
set.seed(0910)
sampleIAxn = rLifeContingencies(50000, lifecontingency="IAxn", object=soa08Act,
                                x=45, t=20, parallel=TRUE)

## variância amostral
var(sampleIAxn)

## [1] 4.726047

## variância teórica
IAxn(soa08Act, 45, 20, power=2) - (IAxn(soa08Act, 45, 20))^2

## [1] 4.719924