• Modelo Coletivo para Tarifação de Seguros

• Modelo para a Frequência

  • Modelo Poisson

  • Exemplos

• Vimos na Parte III do curso como calcular Seguros e Anuidades de Vida, isto é, contratos cujos pagamentos dependem de eventos incertos relacionados à mortalidade e sobrevivência de vidas.

• Para calcular os prêmios desses seguros, precisamos determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória valor presente da perda futura da seguradora. Essa variável aleatória depende do tempo de vida futuro de um indivíduo, que é descrito através de uma tábua de vida.

• E para calcular um seguro de carro? E um seguro residencial? E um plano de saúde? (Ramo Não-Vida)

• Para seguros do Ramo Não-Vida, vamos usar dados históricos para construir modelos de tarifação.

• Vamos discutir o uso de Modelos Lineares Generalizados em um exemplo para tarifação de seguros de automóveis.

• O objetivo é encontrar um prêmio a ser cobrado de um segurado para uma apólice anual, baseado em características observáveis do segurado (como idade ou gênero) ou do objeto segurado (modelo e ano do carro, por exemplo).

Princípio do valor esperado:

• o prêmio associado a um risco anual \(S\) é

\[\pi(S) = (1+\alpha).\mathbb{E}(S) \] onde \(\alpha>0\) representa algum tipo de carregamento, e \(S\) é a perda aleatória anual.

• Seja \((N_t)\) o processo de contagem do número de sinistros ocorridos entre \([0,t]\), e \((Y_i)\) o valor da i-ésima indenização.

• Então a perda total no período \([0,t]\) é:

\[S_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i \] com \(S_t=0\) se \(N_t=0\).

• Se \(\alpha=0\), o prêmio é chamado de prêmio puro.

• Cobrar o prêmio puro pode ser justificado pela Lei dos Grandes Números, se assumirmos que as perdas são independentes e identicamente distribuídas.

• No entanto, de acordo com a Teoria da Ruína, sabemos que a ruína será inevitável quando não há carregamento.

• O primeiro passo é calcular \(\mathbb{E}(S)\) para \(S=S_1\), o total anual.

• Se \(N=N_1\) (número de indenizações no ano) e \(Y_1,\dots,Y_N\) são independentes e as perdas \(Y_i\) são i.i.d., então

\[\pi = \mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(N) \cdot \mathbb{E}(Y) \]

• O prêmio puro anual é o produto de dois termos:
  • a frequência anual \(\mathbb{E}(N)\);
  • o custo médio das indenizações \(\mathbb{E}(Y)\).

• O prêmio puro do slide anterior considera apenas a média geral para todos os segurados, assumindo um risco homogêneo.

• No entanto, sabemos que um modelo mais realista seria considerar riscos diferentes, ou heterogeneidade.

• Vamos considerar o caso em que a heterogeneidade pode ser observada através de uma variável binária \(Z\) (por exemplo, risco baixo e risco alto com probabilidade 50% em cada).

• Vamos assumir que \(N\) tem uma distribuição Binomial, com probabilidade 10% ou 20% de acordo com \(Z\). E vamos considerar que a perda é determinística, \(Y=100\).

• A seguradora tem duas opções:

a ) cobrar o mesmo prêmio para todos os segurados, \(\pi = \mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(N) \cdot \mathbb{E}(Y) = 15\)

b ) cobrar um prêmio considerando a heterogeneidade, \(\pi(z) = \mathbb{E}(S|Z=z) = 10 \mbox{ ou } 20\) dependendo de \(z\).

• Isso pode ser perigoso se existirem duas seguradoras com modelos diferentes de tarifação. Os segurados de baixo risco irão preferir a seguradora que cobrar de acordo com b), enquanto segurados de alto risco irão preferir a seguradora que cobrar a).

• Por isso, a seguradora que não levar em conta a heterogeneidade, e não cobrar prêmios de acordo com as características individuais, não irá sobreviver em um mercado competitivo.

• Nesse exemplo, a seguradora deve cobrar:

\[\pi(z) = \mathbb{E}(S|Z=z) = \mathbb{E}(N|Z=z) \cdot \mathbb{E}(Y|Z=z) \]

• O problema é que a heterogeneidade nem sempre é totalmente observável.

• Na prática, a seguradora poderá observar algumas informações, resumidas em um vetor \(\boldsymbol{X}\), relacionadas às características do segurado, do objeto segurado, etc.

• Algumas dessas covariáveis podem fornecer uma boa aproximação para a variável latente \(Z\). Nesse caso, a seguradora deve cobrar:

\[\pi(\boldsymbol{x}) = \mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}) = \mathbb{E}(N|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}) \cdot \mathbb{E}(Y|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}) \]

• Nosso objetivo é propor modelos para estimar:

  • \(\mathbb{E}(N|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\): a frequência esperada de indenizações para segurados com características \(\boldsymbol{x}\); e

  • \(\mathbb{E}(Y|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\): a severidade, ou custo médio das indenizações para segurados com características \(\boldsymbol{x}\).

• Vamos começar considerando modelos para a frequência de indenizações \(\mathbb{E}(N|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\).

• Como estamos falando de contagens de eventos, a primeira opção é considerar a distribuição de Poisson.

• Assuma que o número de indenizações para um segurado siga um Processo de Poisson homogêneo com intensidade \(\lambda\).

• Isso quer dizer que o número de eventos tem incrementos independentes, e que a quantidade de indenizações observadas durante o intervalo de tempo \([t,t+h]\) tem distribuição Poisson(\(\lambda \cdot h\)).

• Para um segurado \(i\), muitas vezes não temos o número de indenizações anual, isto é, \(N_i\) para o período \([0,1]\).

• Mas normalmente temos no banco de dados o número observado de indenizações \(Y_i\) durante o período \([0,E_i]\), onde \(E_i\) é a exposição do segurado no ano.

\[Y_i \sim \mbox{Poisson}(\lambda \cdot E_i) \]

• Considere o modelo Poisson para um grupo de segurados em que todos tem a mesma intensidade \(\lambda\).

• Para estimar \(\lambda\), podemos usar máxima verossimilhança:

\[\mathcal{L}(\lambda,\boldsymbol{Y},\boldsymbol{E}) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda. E_i}(\lambda.E_i)^{Y_i}}{Y_i!} \]

\[\hat{\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sum_{i=1}^n E_i} \]

• Como já falamos antes, faz sentido pensar que \(\lambda\) dependa de características (covariáveis) de cada segurado.

\[Y_i \sim \mbox{Poisson}(\lambda_i \cdot E_i) \]

• Utilizando uma função de ligação logarítmica (\(\lambda_i = e^{\boldsymbol{X}'_i\boldsymbol{\beta}}\)):

\[Y_i \sim \mbox{Poisson}\left(e^{ \boldsymbol{X}'_i\boldsymbol{\beta} + \log(E_i)} \right) \]

• É importante notar o papel da Exposição nesse modelo! O termo \(\log(E_i)\) é chamado de offset e é incluído como se fosse uma covariável, mas sem coeficiente.

• Assim, para modelar a frequência anual de indenizações, ajustamos uma regressão de Poisson ao número observado de indenizações \(Y\), incluindo as covariáveis \(\boldsymbol{X}\) e o log da exposição \(\log(E_i)\) como offset.

• Vamos considerar \(\lambda_i = \exp(\boldsymbol{X}'_i \boldsymbol{\beta})\) (para garantir a positividade).

• A log-verossimilhança é dada por:

\[\log \mathcal{L}(\boldsymbol{\beta}; \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{E}) = \sum_{i=1}^n \left[ Y_i \log(\lambda_i E_i) - (\lambda_i E_i) - \log(Y_i!) \right] \\ \hspace{6cm} = \sum_{i=1}^n \left[ Y_i \cdot \left( \boldsymbol{X}'_i \boldsymbol{\beta} + E_i \right) - \exp\left\{ \boldsymbol{X}'_i \boldsymbol{\beta} + \log(E_i) \right\} - \log(Y_i!) \right] \]

• O estimador de máxima verossimilhança para \(\boldsymbol{\beta}\) pode ser encontrado numericamente usando o algoritmo de Newton-Raphson.

• Esse método está implementado na função glm do R.

glm(Y~X1+X2+X3+offset(E), family=poisson(link="log"))

• Vamos considerar o banco de dados freMTPLfreq de seguros automobilísticos contra terceiros na França.

• Carregue os dados e veja as variáveis disponíveis.

• Antes de ajustar o modelo, vamos categorizar algumas variáveis:

## categorizando variáveis
freMTPLfreq.f <- freMTPLfreq
freMTPLfreq.f$DriverAge <- cut(freMTPLfreq$DriverAge,c(17,22,26,42,74,Inf))
freMTPLfreq.f$CarAge <- cut(freMTPLfreq$CarAge,c(0,1,4,15,Inf),include.lowest=TRUE)
freMTPLfreq.f$Density <- cut(freMTPLfreq$Density,c(0,40,200,500,4500,Inf),include.lowest=TRUE)

## verificando as classes de cada variável
summary(freMTPLfreq.f)

• Ajuste um modelo de Poisson para o número de indenizações, considerando a exposição (log) como offset, e as covariáveis:

  • tipo de combustível;

  • idade do motorista;

  • e a densidade populacional da cidade.

(Obs: considere as variáveis categorizadas)

• Vamos considerar apenas uma covariável: tipo de combustível (diesel ou regular).

vY <- freMTPLfreq.f$ClaimNb   # selecionando Y
vE <- freMTPLfreq.f$Exposure  # selecionando E
X1 <- freMTPLfreq.f$Gas       # selecionando X1

## Frequência de indenizações por tipo de combustível
tapply(vY, X1, sum)/tapply(vE, X1, sum)

##     Diesel    Regular 
## 0.07467412 0.06515364

• Vamos ajustar um modelo de Poisson com essa covariável e sem intercepto:

## modelo sem intercepto
df <- data.frame(vY,vE,X1)
regpoislog <- glm(vY~0+X1+offset(log(vE)),data=df,family=poisson(link="log"))
summary(regpoislog)

• Interpretando os coeficientes:

## exponencial dos coeficientes
##
exp(coef(regpoislog))

##   X1Diesel  X1Regular 
## 0.07467412 0.06515364

• Modelo com intercepto:

## modelo com intercepto
regpoislog <- glm(vY~X1+offset(log(vE)),data=df,family=poisson(link="log"))
summary(regpoislog)

• Interpretando os coeficientes:

## exponencial dos coeficientes
##
exp(coef(regpoislog))

## (Intercept)   X1Regular 
##  0.07467412  0.87250624

• Nesse modelo, a categoria de referência é Diesel que tem frequência de 0,0746.

• Para tipo de combustível Regular, a frequência seria 87,25% da categoria de referência (igual a 0,0651).

• Essa seria a frequência estimada para calcular o prêmio.

• Categorizamos algumas variáveis arbitrariamente. E se quisermos trabalhar com as variáveis contínuas?

Exercício:

• Ajuste um modelo de Poisson incluindo apenas a idade categorizada do motorista como covariável (e o offset).

• Compare esse ajuste com um modelo com a idade contínua.

• Uma limitação desse modelo é restringir a uma relação linear entre o número de indenizações e a idade.

• Alternativas:

  • considerar idade como um fator (uma categoria diferente para cada idade): as.factor(DriverAge)

  • modelo não-paramétrico incluindo uma função \(s(X)\) da idade, onde \(s()\) pode ser um spline (curva definida entre dois nós). Esse modelo pode ser implementado com a função gam do pacote mgcv.

• Comparação entre a predição dos modelos para idade: