• Alternativas para Modelo para a Frequência

• Modelos para a Severidade

• Modelos conjuntos para Frequência e Severidade

• Vimos na aula passada como construir um modelo para encontrar o prêmio puro de acordo com um modelo coletivo para a perda financeira coberta por um seguro.

• Vimos também que para uma seguradora ser competitiva, ela precisa levar em conta as informações disponíveis (covariáveis) para obter uma estimativa mais precisa para a perda média de cada contrato.

\[\pi(\boldsymbol x) = \mathbb{E}(N|\boldsymbol X = \boldsymbol x) \cdot \mathbb{E}(Y|\boldsymbol X = \boldsymbol x) \]

• Uma opção é modelar cada termo separadamente:

  • \(\mathbb{E}(N | \boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\): frequência esperada de indenizações para segurados com características \(\boldsymbol{x}\); e

  • \(\mathbb{E}(Y | \boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\): severidade, ou custo médio das indenizações para segurados com característica \(\boldsymbol{x}\).

• O modelo mais natural para a frequência (número esperado de indenizações) é o Poisson.

• Limitação: ao assumir que \(Y_i \sim \mbox{Poisson}(\lambda_i.\,E_i)\), temos que \(\mathbb{E}(Y_i) = \mbox{Var}(Y_i) = \lambda_i.\,E_i\).

• Uma alternativa é modelar a variância como:

\[\mbox{Var}(Y_i) = \phi .\, \mu_i \]

• Outras alternativas para a variância: Seções 14.3.1 – 14.3.4 do livro.

• Também podemos assumir outras distribuições de probabilidade para \(Y_i\), como:

  • Binomial Negativa (Seção 14.4.1);

  • Poisson/Binomial Negativa inflacionada em zero (Seção 14.4.2);

  • outras (Seção 14.4.3).

• Veja as seções indicadas para funções e exemplos para estimar os parâmetros de acordo com esses modelos.

• Vamos agora ver modelos apropriados para a severidade \(\mathbb{E}(Y|\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x})\).

• As ferramentas são as mesmas de antes: Modelos Lineares Generalizados.

• Além disso, normalmente as covariáveis são mais informativas para prever a frequência do que a severidade.

• Vamos continuar com o exemplo do banco de dados da aula passada.

1. Carregar o banco de dados freMTPLfreq com os dados de frequência, exposição e as covariáveis (motor do carro, idade do carro, idade do motorista, modelo do carro, tipo de combustível, região da residência, densidade populacional).

2. Carregar o banco de dados freMTPLsev com os dados de severidade (valor das indenizações) para as apólices em que houve sinistro. Quais são as variáveis disponíveis nesse banco?

## tamanho dos bancos
dim(freMTPLfreq)

## [1] 413169     10

dim(freMTPLsev)   # nem todas as apólices tiveram indenizações

## [1] 16181     2

sum(freMTPLfreq$ClaimNb>0)

## [1] 15390

ids = freMTPLsev$PolicyID   # apólices com indenizações
length(ids)

## [1] 16181

length(unique(ids))

## [1] 15390

sum(freMTPLfreq$PolicyID %in% ids)

## [1] 15390

## distribuição da severidade
summary(freMTPLsev$ClaimAmount)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##       2     698    1156    2130    1243 2036833

• Vamos unificar os bancos para analisar a relação entre o valor das indenizações e as outras características das apólices.

## Unificando os bancos
claims <- merge(freMTPLsev, freMTPLfreq)
claims.f <- merge(freMTPLsev, freMTPLfreq.f)

• Qual a dimensão dos bancos resultantes? Quais variáveis estão incluídas nesses bancos? Como a função merge unifica os bancos?

• Como vimos anteriormente, selecionamos apenas as apólices em que houve pagamento de indenizações.

  • Veja nos valores da variável ClaimAmount dos bancos de dados que acabamos de criar.

• Agora, queremos um modelo que explique a variabilidade das indenizações de acordo com as covariáveis.

• Por isso, precisamos de distribuições estatísticas que assumam apenas valores positivos.

• \(Y\) tem distribuição Gama se a densidade pode ser escrita como:

\[f(y) = \frac{1}{y.\, \Gamma(\varphi^{-1})} \left( \frac{y}{\mu \varphi}\right)^{\varphi^{-1}} \exp \left( - \frac{y}{\mu \varphi}\right), \quad \forall \, y \in \mathbb{R}_{+}. \]

• A distribuição Gama pertence à família exponencial, e a função de ligação canônica é a inversa. Outras funções de ligação: identidade e logarítmo.

• \(Y\) tem distribuição log-normal se a densidade pode ser escrita como:

\[f(y) = \frac{1}{y \sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left\{ - \frac{(\ln y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right\}, \quad \forall \, y \in \mathbb{R}_{+}. \]

• Podemos ajustar esse modelo considerando que \(Y\sim\mbox{Lognormal}\) se \(\log(Y)\sim\mbox{Normal}\).

## Regressão Gama (para indenizações menores)
reg.gamma <- glm(ClaimAmount ~ CarAge + Gas, family=Gamma(link="log"),
                 data=claims[claims$ClaimAmount<15000,])
summary(reg.gamma)

## Regressão Log-Normal
reg.logn <- lm(log(ClaimAmount) ~ CarAge + Gas,
               data=claims[claims$ClaimAmount<15000,])
summary(reg.logn)

• Outra alternativa: Normal Inversa

• O ajuste dos modelos deve ser comparado usando os instrumentos padrões de Modelos Lineares Generalizados.

• Se os valores das indenizações não forem muito grandes, as regressões gama e log-normal serão bem próximas (como vimos no exemplo anterior).

• No entanto, quando temos indenizações com valores grandes, os ajustes serão diferentes.

## Regressão Gama (para todos os valores)
reg.gamma <- glm(ClaimAmount ~ DriverAge,
                 family=Gamma(link="log"), data=claims)
summary(reg.gamma)

## Regressão Log-Normal
reg.logn <- lm(log(ClaimAmount) ~ DriverAge, data=claims)
summary(reg.logn)

• Nesse caso, os coeficientes são significativos nos dois modelos, mas com sinais diferentes (o efeito de aumentar a idade será diferente).

• Isso acontece porque os outliers irão afetar o ajuste dos modelos.

• Para isso, seria necessário considerar modelos mais robustos para a tarifação. Para mais discussão sobre isso: Seção 14.6.

• Vamos finalizar considerando um modelo conjunto para frequência e severidade.

• A alternativa mais comum é o modelo Tweedie.

• A distribuição Tweedie pertence à família exponencial e satisfaz a seguinte condição:

\[\mbox{Var}(Y) = \varphi\,.[\mathbb{E}(Y)]^p \]

• Se \(p=0\), temos uma distribuição com a variância constante (dist. normal);

• Se \(p=1\), então a variância é linear (dist. Poisson);

• Se \(p=2\), temos uma função de variância quadrática (dist. Gama);

• Se \(p \in (1,2)\), então \(Y\) tem uma distribuição composta Poisson-Gama.

• Ajustando o modelo Tweedie com o pacote tweedie:

1. Encontrar o valor de \(p\): usar a função tweedie.profile para encontrar o EMV para \(p\) para um determinado modelo.

2. Usar o valor para estimar a regressão: função glm(..., family=tweedie(var.power=p)).

• Outro pacote: cplm.