• Métodos estocásticos para cálculo de reserva

  • Chain-Ladder como Regressão Linear

  • Método Mack

  • Modelo de Regressão de Poisson

  • Modelo Quasi-Poisson

  • Bootstrap Chain-Ladder

• Vimos na aula passada que o cálculo de reservas para seguros do ramo não-vida é baseado na análise de dados históricos.

• Além disso, na operação dos pagamentos de indenizações observamos um período de desenvolvimento: tempo entre a ocorrência de um sinistro e a efetivação do pagamento pela seguradora.

• Por isso é importante criar reservas e provisões para pagar as indenizações de eventos que já ocorreram mas ainda não foram avisados/pagos.

• O método mais básico para calcular reservas é o Chain-Ladder. É um método determinístico baseado em triângulos de desenvolvimento, que assume que os fatores de desenvolvimento são os mesmos para todos os anos.

• Como as provisões representam uma grande parte do passivo da seguradora, é importante estimar bem não só o seu valor esperado, mas também a variabilidade da reserva.

• Por isso, vamos ver como estimar a reserva através de métodos estocásticos.

• Vários métodos tem sido desenvolvidos para estimar reservas através de uma abordagem estocástica.

• A ideia principal é tratar os dados observados como uma realização de uma variável aleatória.

• Os modelos estatísticos permitem fazer testes de hipóteses, avaliar suposições de distribuição, e monitorar a diferença entre os valores de desenvolvimento reais e os esperados.

• Vamos ver alguns modelos que estendem o método Chain-Ladder, e depois outras alternativas.

• Alguns autores propuseram considerar os fatores de desenvolvimento do método clássico Chain-Ladder como coeficientes de uma regressão passando pela origem.

• Seja \(C_{\cdot,\,k}\) a \(k\)-ésima coluna do triângulo acumulado.

• Podemos ver o algoritmo Chain-Ladder como:

\[C_{\cdot,\,k+1} = f_k.C_{\cdot,\,k} + \varepsilon_k \quad \mbox{com}\quad \varepsilon_k \sim N\left(0, \sigma^2_k\,. {C}^{\delta}_{\cdot,\,k} \right) \] - O parâmetro \(f_k\) descreve a inclinação da reta passando pela origem dos pontos \([C_{\cdot,\,k}, C_{\cdot,\, k+1}]\), e \(\delta\) como parâmetro de ponderação.

• \(\delta=0\): regressão usual com intercepto 0;
• \(\delta=1\): chain ladder com razões ano a ano;
• \(\delta=2\): médias das razões individuais.

• Vamos ilustrar esses diferentes modelos com os dados da última aula.

• Primeiro, vamos acrescentar colunas aos dados originais para que os pagamentos do período corrente e o seguinte estejam lado a lado. Vamos acrescentar também uma coluna com o período de desenvolvimento como fator.

names(Claims)[3:4] <- c("inc.paid.k", "cum.paid.k")
ids <- with(Claims, cbind(originf, dev))

## acrescentando os pagamentos do período k+1
Claims <- within(Claims,{
  cum.paid.kp1 <- cbind(cum.triangle[,-1], NA)[ids]
  inc.paid.kp1 <- cbind(inc.triangle[,-1], NA)[ids]
  devf <- factor(dev)
})

head(Claims)

##   originf dev inc.paid.k cum.paid.k devf inc.paid.kp1 cum.paid.kp1
## 1    2007   1       3511       3511    1         3215         6726
## 2    2007   2       3215       6726    2         2266         8992
## 3    2007   3       2266       8992    3         1712        10704
## 4    2007   4       1712      10704    4         1059        11763
## 5    2007   5       1059      11763    5          587        12350
## 6    2007   6        587      12350    6          340        12690

tail(Claims)

##    originf dev inc.paid.k cum.paid.k devf inc.paid.kp1 cum.paid.kp1
## 23    2011   1       4150       4150    1         3747         7897
## 24    2011   2       3747       7897    2         2320        10217
## 25    2011   3       2320      10217    3           NA           NA
## 26    2012   1       5102       5102    1         4548         9650
## 27    2012   2       4548       9650    2           NA           NA
## 28    2013   1       6283       6283    1           NA           NA

• Agora vamos aplicar o modelo de regressão para cada período de desenvolvimento, para os diferentes parâmetros de ponderação.

## modelos de regressão Chain Ladder
delta <- 0:2
ATA <- sapply(delta, function(d)
  coef(lm(cum.paid.kp1 ~ 0 + cum.paid.k : devf, weights=1/cum.paid.k^d, data=Claims))
)
dimnames(ATA)[[2]] <- paste("Delta = ", delta)

ATA

##                  Delta =  0 Delta =  1 Delta =  2
## cum.paid.k:devf1   1.888217   1.889234   1.890427
## cum.paid.k:devf2   1.280424   1.282381   1.284454
## cum.paid.k:devf3   1.146169   1.147105   1.148104
## cum.paid.k:devf4   1.096888   1.096758   1.096636
## cum.paid.k:devf5   1.050936   1.050921   1.050906
## cum.paid.k:devf6   1.027530   1.027530   1.027530

• Os coeficientes coincidem com os que já tínhamos estimado com o modelo básico.

• Mack (1993, 1999) propôs um modelo para estimar a média e o desvio-padrão da previsão do Chain-Ladder, sem precisar assumir nenhuma distribuição de probabilidade.

• Esse modelo é válido sob três condições:

1. \(\mathbb{E}(F_{ik}| C_{i,1},\dots,C_{i,k}) = f_k\) com \(F_{i,k} = \frac{C_{i,k+1}}{C_{i,k}}\);

2. \(Var(F_{i,k}|C_{i,1},\dots,C_{i,k}) = \frac{\sigma^2}{w_{ik}.\,C_{ik}^{\alpha}}\);

3. \(\{C_{i,1},\dots,C_{i,n}\},\{C_{j,1},\dots,C_{j,n}\}\) são independentes para \(i\neq j\);

com \(w_{ik} \in [0;1]\), \(\alpha \in \{0,1,2\}\) sendo que \(\alpha=2-\delta\).

• O modelo Mack assume que os fatores para cada período de desenvolvimento são constantes para todos os períodos de origem (condição 1), que a volatilidade decresce à medida que os pagamentos são feitos (condição 2), e todos os períodos de origem são independentes e não há mudança estrutural ou sazonalidade (condição 3).

• Se essas condições são válidas, o modelo fornece um estimador não-enviesado para os pagamentos futuros. \(\hat{f}_k\) é um estimador não viciado para \(f_k\):

\[\hat{f}_k = \frac{\sum_{i=1}^{n-k} w_{ik}\,. C^{\alpha}_{i,k} \,. F_{i,k}}{\sum_{i=1}^{n-k} w_{ik} \,. C^{\alpha}_{i,k} } \]

• Assim, um estimador não-enviesado para \(\mathbb{E}(C_{i,k}|C_{i,1},\dots,C_{i,n-i+1})\) é:

\[\hat{C}_{i,k} = \hat{f}_{n-i} \cdot \hat{f}_{n-i+1} \cdots \hat{f}_{k-2} \cdot \left( \hat{f}_{k-1} - 1\right) \cdot C_{i, n-i+1} \]

• Se \(\alpha=1\) e \(w_{i,k}=1\), então:

\[\hat{\sigma}^2_k = \frac{1}{n-k-1} \sum_{i=1}^{n-k} \left( F_{i,k} - \hat{f}_k \right)^2 \cdot C_{i,k} \]

é um estimador não-enviesado para \(\sigma^2_k\).

• Na Seção 16.4.2, temos outras fórmulas para estimar o erro médio quadrático da reserva estimada, e outros termos.

• Essas fórmulas estão implementadas no pacote ChainLadder com a função MackChainLadder. Para ver mais detalhes sobre a implementação, veja a descrição da função.

(mack <- MackChainLadder(cum.triangle, weights=1, alpha=1, est.sigma="Mack"))

## MackChainLadder(Triangle = cum.triangle, weights = 1, alpha = 1, 
##     est.sigma = "Mack")
## 
##      Latest Dev.To.Date Ultimate   IBNR Mack.S.E CV(IBNR)
## 2007 12,690       1.000   12,690      0     0.00      NaN
## 2008 12,746       0.973   13,097    351     3.62   0.0103
## 2009 12,993       0.926   14,031  1,038    22.90   0.0221
## 2010 11,093       0.844   13,138  2,045   141.98   0.0694
## 2011 10,217       0.736   13,880  3,663   426.70   0.1165
## 2012  9,650       0.574   16,812  7,162   692.39   0.0967
## 2013  6,283       0.304   20,680 14,397   900.58   0.0626
## 
##               Totals
## Latest:    75,672.00
## Dev:            0.73
## Ultimate: 104,327.77
## IBNR:      28,655.77
## Mack.S.E    1,417.27
## CV(IBNR):       0.05

• A saída da função fornece várias estatísticas do modelo Mack, como a previsão dos pagamentos futuros (IBNR) e o erro quadrático médio, para cada período de origem e também o total.

• A saída também inclui o CV (Coeficiente de Variação \(\sigma/\mu\)), que mede a porcentagem do erro médio em relação à reserva estimada.

• Alguns autores examinaram a possibilidade de tratar os pagamentos incrementais como variáveis aleatórias de Poisson, o que resulta na mesma previsão que o método de Chain-Ladder.

• A ideia é considerar que os pagamentos incrementais \(X_{ij}\) tem distribuição de Poisson, dado o período de origem \(a_i\), período de desenvolvimento \(b_j\), com intercepto \(c\) e restrições \(a_1=0,\, b_1=0\):

\[\log \mathbb{E}(X_{ij}) = \eta_{ij} = c + a_i + b_j \]

• O modelo de Poisson pode ser implementado diretamente com a função glm:

## Modelo de Regressão de Poisson
preg <- glm(inc.paid.k ~ originf + devf,
            data=Claims, family=poisson(link = "log"))

• Prevendo os pagamentos incrementais:

## criando a matriz para guardar os incrementos
allClaims <- data.frame(origin = sort(rep(2007:2013, n)),
                        dev = rep(1:n,n))
allClaims <- within(allClaims, {
  devf <- factor(dev)
  cal <- origin + dev - 1
  originf <- factor(origin)
})

## completando o triângulo
pred.inc.tri <- t(matrix(predict(preg,type="response",
                                 newdata=allClaims), n, n))

pred.inc.tri

##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]
## [1,] 3855.492 3428.436 2056.846 1374.073 1036.746 598.4061 340.0000
## [2,] 3979.118 3538.368 2122.799 1418.133 1069.989 617.5939 350.9020
## [3,] 4262.776 3790.607 2274.126 1519.227 1146.265 661.6201 375.9167
## [4,] 3991.562 3549.434 2129.437 1422.568 1073.335 619.5253 351.9994
## [5,] 4217.163 3750.046 2249.792 1502.970 1134.000 654.5405 371.8942
## [6,] 5107.890 4542.110 2724.981 1820.420 1373.517 792.7891 450.4438
## [7,] 6283.000 5587.059 3351.885 2239.222 1689.505 975.1765 554.0719

• O total das reservas é igual ao obtido ao método Chain-Ladder básico:

## reserva
sum(predict(preg,type="response", newdata=subset(allClaims, cal > 2013)))

## [1] 28655.77

## fatores de desenvolvimento
df <- c(0, coef(preg)[(n+1):(2*n-1)])
sapply(2:7, function(i) sum(exp(df[1:i]))/sum(exp(df[1:(i-1)])))

## [1] 1.889234 1.282381 1.147105 1.096758 1.050921 1.027530

• A limitação do modelo de Poisson é o problema de superdispersão.

## testando super-dispersão
require(AER)
dispersiontest(preg)

## 
##  Overdispersion test
## 
## data:  preg
## z = 2.9661, p-value = 0.001508
## alternative hypothesis: true dispersion is greater than 1
## sample estimates:
## dispersion 
##   11.57289

• Nesse caso, um modelo quasi-Poisson deve ser investigado.

• Com um modelo de regressão de Poisson e função de ligação logarítmica, temos que:

\[\mathbb{E}(X_{i,j}) = \mu_{i,j} = \exp(\eta_{ij}) \qquad\quad \hat{\mu}_{ij} = \exp(\hat{\eta}_{ij}) \]

• Podemos aproximar a variância como:

\[Var(\hat{x}_{ij}) \approx \left| \frac{\partial \mu_{i,j}}{\partial \eta_{i,j}} \right|^2 \cdot Var(\hat{\eta}_{i,j}) \qquad \mbox{onde } \frac{\partial \mu_{i,j}}{\partial \eta_{i,j}} = \mu_{i,j} \]

• Assim, o erro quadrático médio da reserva é dado por:

\[\mathbb{E}\left( [R - \hat{R}]^2 \right) \approx \left( \sum_{i+j>n+1}\hat{\phi} \,\cdot \hat{\mu}_{i,j} \right) + \hat{\boldsymbol \mu}' \,\cdot \hat{Var}(\hat{\boldsymbol \eta})\,\cdot \hat{\boldsymbol \mu}\]

• Podemos então, ajustar esse modelo Quasi-Poisson:

## Modelo Quasi-Poisson
odpreg <- glm(inc.paid.k ~ originf + devf, data=Claims,
              family=quasipoisson)

• Os coeficientes são os mesmos do modelo Poisson, mas o parâmetro de dispersão é 21,6.

• Os gráficos de resíduos parecem razoáveis, porém o R alerta sobre dois pontos (7 e 28) com alto valor de influência (leverage > 1).

• Essas linhas se referem aos períodos de desenvolvimento 2 e 1 para os anos de origem 2009 e 2013, respectivamente.

• Realmente, esses dois pagamentos são consideravelmente mais altos do que os dos anos anteriores. Portanto, deve-se investigar mais a fundo essas observações.

• Outros modelos mais generalizados podem ser encontrados na função glmReserve do pacote ChainLadder. Através do período de origem e o período de desenvolvimento, a função estima as reservas e implementa métodos analíticos e de bootstrap para calcular os erros.

(odp <- glmReserve(as.triangle(inc.triangle), var.power=1, cum=FALSE))

##       Latest Dev.To.Date Ultimate  IBNR       S.E         CV
## 2008   12746   0.9732000    13097   351  125.8106 0.35843464
## 2009   12993   0.9260210    14031  1038  205.0826 0.19757473
## 2010   11093   0.8443446    13138  2045  278.8519 0.13635790
## 2011   10217   0.7360951    13880  3663  386.7919 0.10559429
## 2012    9650   0.5739948    16812  7162  605.2741 0.08451188
## 2013    6283   0.3038201    20680 14397 1158.1250 0.08044210
## total  62982   0.6872913    91638 28656 1708.1963 0.05961042

• O uso de Modelos Lineares Generalizados para o cálculo de reservas tem algumas vantagens:

  • O modelo Poisson com super-dispersão reproduz as estimativas do método Chain-Ladder;

  • Fornece uma modelagem mais coerente do que o método Mack;

  • Pode-se usar toda a teoria estatística já bem estabelecida para fazer teste de hipóteses e teste de diagnóstico.

• No entanto, deve-se estar atento a alguns pontos:

  • O MLG assume que não há desenvolvimento além da “cauda”, e projeta os pagamentos apenas até o tempo do último dado observado. Para considerar desenvolvimento além da “cauda”, olhar modelos ClarkLDF ou ClarkCapeCod no pacote ChainLadder.

  • O modelo assume que os incrementos são independentes. Essa suposição pode não ser válida, por exemplo para observações dentro de uma mesmo ano-calendário que podem ser correlacionadas devido a inflação ou outros fatores externos.

  • O modelo tende a ser super-parametrizado (parâmetros demais), o que pode levar a uma performance preditiva inferior.

• O método de cálculo de reservas Bootstrap Chain-Ladder é uma alternativa aos modelos assintóticos que vimos antes.

• 1º passo: Ajustar um Modelo Quasi-Poisson (resultados iguais ao Chain-Ladder) ao triângulo de desenvolvimento para prever os futuros pagamentos. A partir desse modelo, os resíduos de Pearson são calculados. Os resíduos são então amostrados com o método Bootstrap para simular novos triângulos.

• 2º passo: O erro do processo é estimado com a média dos valores obtidos pelo Bootstrap e supondo uma distribuição Quasi-Poisson. A amostra obtida fornece uma estimativa para a distribuição preditiva da reserva, que pode ser usada para obter estatísticas descritivas, erros de predição, quantis, etc.

• As fórmulas dos resíduos e mais detalhes do método estão na Seção 16.4.4.

• O método está implementado na função BootChainLadder no pacote ChainLadder.

## Bootstrap Chain-Ladder
set.seed(1)
B <- BootChainLadder(cum.triangle, R=1000, process.distr="od.pois")

## BootChainLadder(Triangle = cum.triangle, R = 1000, process.distr = "od.pois")
## 
##      Latest Mean Ultimate Mean IBNR IBNR.S.E IBNR 75% IBNR 95%
## 2007 12,690        12,690         0        0        0        0
## 2008 12,746        13,104       358      126      432      575
## 2009 12,993        14,034     1,041      216    1,180    1,411
## 2010 11,093        13,132     2,039      281    2,222    2,516
## 2011 10,217        13,873     3,656      393    3,910    4,326
## 2012  9,650        16,812     7,162      601    7,548    8,181
## 2013  6,283        20,736    14,453    1,213   15,250   16,538
## 
##                  Totals
## Latest:          75,672
## Mean Ultimate:  104,381
## Mean IBNR:       28,709
## IBNR.S.E          1,752
## Total IBNR 75%:  29,838
## Total IBNR 95%:  31,719

• Os dois primeiros momentos são iguais aos estimados pelo modelo Poisson.

• No entanto, diferentemente do modelo Mack, temos, além dois primeiros momentos, os quantis da distribuição da reserva.

quantile(B, c(0.75,0.95,0.99,0.995))

## $ByOrigin
##      IBNR 75% IBNR 95% IBNR 99% IBNR 99.5%
## 2007     0.00     0.00     0.00      0.000
## 2008   432.00   575.10   712.07    758.040
## 2009  1180.25  1411.00  1583.06   1671.045
## 2010  2222.00  2516.10  2735.32   2844.025
## 2011  3910.00  4326.30  4572.11   4665.075
## 2012  7548.00  8181.25  8597.45   8729.850
## 2013 15250.00 16538.30 17494.11  17712.590
## 
## $Totals
##               Totals
## IBNR 75%:   29838.25
## IBNR 95%:   31718.60
## IBNR 99%:   32912.30
## IBNR 99.5%: 33481.49

• Como temos acesso a todos os triângulos simulados, podemos também estimar percentis para pagamentos a serem feitos no próximo ano.

• Por exemplo, para encontrar o percentil de 99,5% dos pagamentos do próximo ano:

ny <- (col(inc.triangle) == (nrow(inc.triangle) - row(inc.triangle) + 2))
paid.ny <- apply(B$IBNR.Triangles, 3,
                 function(x){next.year.paid <- x[col(x) == (nrow(x) - row(x) + 2)]
                             sum(next.year.paid) })
paid.ny.995 <- B$IBNR.Triangles[,,order(paid.ny)[round(B$R*0.995)]]
inc.triangle.ny <- inc.triangle

(inc.triangle.ny[ny] <- paid.ny.995[ny])

## [1] 6765 2752 1562 1234  749  619

• Somando esses pagamentos e dividindo pelo total da reserva, esse cenário implicaria em uma utilização de 49% da reserva no próximo ano.

• O valor dos pagamentos incrementais pode ser ajustado com um modelo de regressão log-normal (Seção 16.4.5).

• O modelo incorpora efeitos diferentes para ano de origem, tempo de desenvolvimento e ano de pagamento.

• O ajuste desse modelo permite analisar se há efeitos significativos para cada um dos períodos, e mensurar esses efeitos. Além disso, permite fazer predição para períodos futuros.