Modelando a pandemia de Covid19

Problemas do modelo básico:

1. os dados são contagens e a distribuição normal pressupõe dados contı́nuo;

2. a variância deveria aumentar com a magnitude dos dados.

Características de interesse:

As características mais importantes são:

1) Taxa de infecção

• \(c\) mede a velocidade da aceleração e reflete a taxa de infecção da doença.

2) Assíntota \[\lim_{t \to \infty} \mu( t) = \lim_{t \to \infty} \frac{ a \exp{ \{ c t \} } } {1 + b \exp { \{ ct \} }} = \frac ab\] - Reflete o total de casos acululados ao longo de toda a pandemia.

• Crescimento exponencial (\(b=0\)): assíntota \(= \infty\) !

3) Ponto de inflexão

• É o tempo \(t*\) onde o número de novos casos para de crescer e começa a diminuir.

• Crescimento exponencial (\(b=0\)): número de novos casos nunca para de crescer!

4) Previsão:

• O que podemos dizer sobre \(Y (t+k ), \forall k\), para \(t\) fixo (hoje)? Depende da distribuição de \(Y( t)\) mas será sempre dada pela distribuição preditiva de \(Y(t+k)\) dado \(Y(1:t) = \{ Y( 1) , ... , Y( t ) \}\), o que foi observado.

Funciona como se fosse a distribuição a posteriori de \(Y(t + k )\).

Resultado útil: Se \(Z\) e \(W\) são 2 v. a.’s quaisquer então:

\(E[Z] = E[ E(Z \mid W ) ]\)

\(Var[Z] = Var[ E(Z \mid W ) ] + E[ Var( Z \mid W ) ]\)

Em particular, \(E[Y ( t + k ) \mid Y( 1:t)] = E\{ E[ Y ( t + k ) \mid \mu( 1:t)] \mid Y( 1:t) \}\) \(= E[ \mu( t+k )] \mid Y( 1:t) ]\), a média a posteriori de \(\mu ( t + k )\).

A inferência para tudo que foi dito acima deve ser reportada através de estimadores pontuais (ex: médias a posteriori), junto com os respectivos intervalos de credibilidade.

5) Número de reprodutibilidade \(R_0\)

\(R_0\) é o número esperado de casos secundários de uma doença produzidos por um indivíduo infectado.

No tempo \(t\), ele é definido como \[R_0 = \frac {\mu ( t ) - \mu ( t-1)}{\mu ( t-1)} = \frac {\mu ( t )}{\mu ( t-1)} - 1\]

Início da epidemia: \(1 \gg b \exp { \{ ct \} } \to \mu (t) \approx a \exp { \{ ct \} } \to R_0 \approx e^c - 1\)

Final da epidemia: \(1 \ll b \exp { \{ ct \} } \to \mu (t) \approx a / b \to R_0 \approx 0\)

Meio da epidemia: \(R_0\) é função dos parâmetros \((a,b,c)\) e do tempo \(t\), e é dado por \[R_0 (t) = e^c \ \frac{1 + b e^c e^{ct} } {1 + b e^{ct} } \ - \ 1\]

Para cada \(t\) fixado, podemos obter sua distribuição a posteriori (via amostra MCMC) e calcular média, quantis e intervalos de credibilidade.

6) Número médio de novos casos (NMNC)

NMNC no tempo \(t+k\): \(n_t ( k ) = E [Y ( t + k ) - Y ( t + k -1 ) ] = \mu ( t + k ) - \mu ( t + k -1 )\)

Logo, NMNC também é função dos parâmetros \((a,b,c)\) e pode ser facilmente calculado.

Para cada \(t\) e \(k\) fixados, podemos obter sua distribuição a posteriori (via amostra MCMC) e calcular média, quantis e intervalos de credibilidade.

Poisson com sobredispersão

1.3) \(Y( t ) \mid \epsilon ( t ) \sim Poisson ( \mu ( t ) + \epsilon ( t ) )\) com \(E[ \epsilon (t)] = 0\) e \(Var( \epsilon (t)) = \sigma^2\)

1.4) \(Y( t ) \mid \epsilon ( t ) \sim Poisson ( \mu ( t ) \times \epsilon ( t ) )\) com \(E[ \epsilon (t)] = 1\) e \(Var( \epsilon (t)) = \sigma^2\)

Usando os resultados úteis anteriores:

Mod(1.3): \(E [ Y ( t ) ] = E[ E( Y(t) \mid \epsilon (t ) ) ] = E[ \mu ( t ) + \epsilon ( t ) ] = \mu ( t ) + E[ \epsilon ( t ) ] = \mu ( t )\)

\(Var[ Y ( t ) ] = Var[ E( Y(t) \mid \epsilon (t) ) ] + E[ Var ( Y(t) \mid \epsilon (t) ) ] = Var[ \mu ( t ) + \epsilon ( t ) ] + E [ \mu ( t ) + \epsilon ( t ) ] = \sigma^2 + \mu_t > \mu ( t )\)

Mod(1.4): \(E [ Y ( t ) ] = E[ E( Y(t) \mid \epsilon (t) ) ] = E[ \mu ( t ) \times \epsilon ( t ) ] = \mu ( t ) \times E[ \epsilon ( t ) ] = \mu ( t )\)

\(Var[ Y ( t ) ] = Var[ E( Y(t) \mid \epsilon (t) ) ] + E[ Var ( Y(t) \mid \epsilon (t) ) ] = Var[ \mu ( t ) \times \epsilon ( t ) ] + E [ \mu ( t ) \times \epsilon ( t ) ] = \mu_t ^2 \sigma^2 + \mu_t > \mu ( t )\)

Ambos preservam média da Poisson e aumentam dispersão da Poisson.

Extensões dinâmicas

Modelos anteriores assumem comportamento estático \(\Rightarrow\) a forma da doença não se modifica ao longo do tempo \(\Rightarrow\) taxa de infecção será sempre a mesma, assintota será sempre a mesma, ...

Modelos dinâmicos flexibilizam isso.

\[\mu ( t ) = \frac{ a( {\color{red} t )} \ \exp{ \{ c( {\color{red}t) } \ t \} } } {1 + b( {\color{red}t) } \ \exp { \{ c({\color{red}t) } \ t \} }}\]

com: \(a ( t ) = a ( t-1) + w_a ( t )\), onde \(w_a ( t ) \sim N ( 0 , W_a ), \forall t\).

\(b ( t ) = b ( t-1) + w_b ( t )\), onde \(w_b ( t ) \sim N ( 0 , W_b ), \forall t\).

\(c ( t ) = c ( t-1) + w_c ( t )\), onde \(w_c ( t ) \sim N ( 0 , W_c ), \forall t\).

Vantagens:

1. \(E[ a(t) \mid a(t-1 )]= a (t-1)\), e o mesmo vale para \(b(t)\) e \(c(t) \Rightarrow\) constância local.

2. \(Var[ a(t) \mid a(t-1 )]= W_a\), e o mesmo vale para \(b(t)\) e \(c(t) \Rightarrow\) aumento da incerteza.

Problemas:

1. variâncias \(W_a, W_b, W_c\) conhecidas \(\Rightarrow\) difíceis de especificar.

2. variâncias \(W_a, W_b, W_c\) deconhecidas \(\Rightarrow\) difíceis de estimar.

3. não dá para simplificar \(W_a = W_b = W_c = W\) (magnitudes diferentes de \((a,b,c)\)).

• Outra forma de introduzir dinamismo, agora multiplicativo:

\(a ( t ) = a ( t-1) \times w_a ( t )\), onde \(w_a ( t ) \sim Gamma ( d_a ,d_a ), \forall t\).

\(b ( t ) = b ( t-1) \times w_b ( t )\), onde \(w_b ( t ) \sim Gamma ( d_b ,d_b ), \forall t\).

\(c ( t ) = c ( t-1) \times w_c ( t )\), onde \(w_c ( t ) \sim Gamma ( d_c ,d_c ), \forall t\).

Vantagens:

1. \(E[ a(t) \mid a(t-1 )]= a (t-1)\) e o mesmo vale para \(b(t)\) e \(c(t) \Rightarrow\) constância local.

2. \(Var[ a(t) \mid a(t-1 )]= d_c^{-1}\) e o mesmo vale para \(b(t)\) e \(c(t) \Rightarrow\) aumento da incerteza.

3. Hiperparâmetros \(d_a, d_b, d_c\) fáceis de especificar.

Exemplos: \[d=1000 \ \to \ 0,90= P ( 0,95 < w(t) < 1,05 ) = P \left( 0,95 < \frac {a(t)}{a(t-1) } < 1,05 \right)\] \[d=1500 \ \to \ 0,95= P ( 0,95 < w(t) < 1,05 ) = P \left( 0,95 < \frac {a(t)}{a(t-1) } < 1,05 \right)\]

Problemas:

1. As magnitures de \(a, b, c\) ainda interferem no aumento da incerteza.

2. não sei se software lida bem com Gammas tendo parâmetros tão altos.

Evolução multiplicativa com erros normais

Considere a evolução multiplicativa abaixo para o parâmetro \(a\):

\[a ( t ) = a ( t-1) \times \exp \{ w_a ( t ) \}, \mbox{ onde } w_a ( t ) \sim N( 0 , W_a )\] Tomando o logartimo nos dois lados, obtem-se: \[\log \ a ( t ) = \log \ a ( t-1) + w_a ( t ), \mbox{ onde } w_a ( t ) \sim N( 0 , W_a )\] Passando \(\log \ a ( t-1)\) para a esquerda, vem que: \[\log \ a ( t ) - \log \ a ( t-1) = \log \left[ \frac{ a ( t )}{ a ( t-1)} \right] = w_a ( t ), \mbox{ onde } w_a ( t ) \sim N( 0 , W_a )\]

Especificação de \(W_a\): pode-se pensar em percentual de incremento, como antes.

\[0,95 = P \left( 0,95 < \frac {a(t)}{a(t-1) } < 1,05 \right) = P ( - 0,05 < w_a(t) < 0,05 )\] Isso implica \(2 \sqrt{W_a} = 0,05\), que implica \(\sqrt{W_a} = 0,025 \ \Rightarrow W_a = (0,025)^2\).

Mesma especificação vale para \(W_b\) e \(W_c\), pois dimensões de \(b\) e \(c\) não importam.

Caso particular

Baseado em Gamerman, Santos e Franco (J. Time Series Analysis, 2013):

\[\mu ( t ) = \frac{ a( {\color{red}t)} \ \exp{ \{ c \ t \} } } {1 + b \ \exp { \{ c \ t \} }}\] \(a ( t ) = a ( t-1) \times w_a ( t )\), onde \(w_a ( t ) \sim Beta, \forall t\).

Pode ser usado também para crescimento exponencial (\(b=0\)).

Vantagem:

1. Permite contas exatas, dispensando aproximações MCMC.

Desvantagem:

1. Não permite \(b\) e \(c\) dinâmicos.